Лекции / Лекции (МП-2, Каратыгин) / 2 семестр 2005 / Лекция 04

Лекция №4

Разряд конденсатора с начальным напряжением на RL-цепь.

В цепи нет источника, но зато содержится 2 реактивных элемента: катушка и емкость, обладающая напряжением в начальный момент времени. По второму закону Кирхгофа,

Продифференцируем уравнение по времени:

Определим ток в цепи:

Поскольку в цепи нет источника, , тогда

,

где и - корни характеристического уравнения:

,

откуда

.

Запишем начальные условия:

.

До коммутации ток через индуктивность не протекал, , с другой стороны,

.

Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:

.

В момент времени

.

Тогда

.

Решая совместно и , получим:

.

Отсюда найдем ток:

Упростим полученное выражение для . Пусть

,

отметим, что

Подставив это равенство в выражение для , получим:

,

где

.

Итак, мы рассмотрели решение данной цепи в общем случае. Рассмотрим далее частные случаи и в зависимости от предполагаемых значений и попытаемся построить графики токов и напряжений. Возможны 3 случая в зависимости от того, что получится в подкоренном выражении в формуле для :

1. и отрицательны и различны, ;

2. и отрицательны и совпадают, ;

3. и представляют собой пару комплексно сопряженных чисел, .

1 случай. Апериодический характер процесса.

В этом случае являются различными действительными отрицательными числами:

,

кроме того,

,

поскольку мы выбрали , тогда

.

Наша задача - построить графики токов и напряжений, не зная численных значений элементов цепи. Ток в контуре начинается и заканчивается в нуле (в начальный момент времени цепь разомкнута, а после замыкания ключа в цепи нет источника, чтобы поддерживать ток). Значит, ток должен достигать максимального (по модулю) значения, причем это значение всегда будет отрицательным (см. формулу для значения тока с учетом выбранных значений и ), что с точки зрения физики процесса означает разрядку конденсатора. Построим графики тока в контуре и напряжений на емкости и индуктивности (очевидно, график напряжения на сопротивлении будет повторять график тока с неким коэффициентом ).

В начальный момент времени напряжение на индуктивности = , при (выражение для индуктивности представляет из себя суперпозицию двух экспонент). При максимальном значении тока в контуре значение напряжения на индуктивности должно = 0 (с физической точки зрения, все напряжение от конденсатора приложено к сопротивлению, а с математической, чтобы найти максимум функции, нужно приравнять к нулю производную этой функции и найти корни полученного уравнения; производная тока по времени с точностью до коэффициента равна ).

Напряжение на конденсаторе в начальный момент времени по 2-му закону коммутации , а при это напряжение падает до нуля.

Теперь рассмотрим максимумы напряжений на индуктивности и сопротивлении в моменты времени и . Как говорилось выше, максимум тока в контуре будет определяться из условия

.

Максимум напряжения на индуктивности в момент времени определяется из условия

.

2 случай. Граничный характер процесса.

Данный частный случай характеризуется следующим соотношением:

,

т.е. значение подкоренного выражения в формуле для равняется нулю. Но тогда , и в выражениях для тока и напряжений получаем неопределенность вида :

.

В этом случае принимают и находят предел выражения для тока при :

.

Теперь найдем все напряжения, исходя из полученной зависимости тока от времени:

,

где мы учли, что . Тогда напряжение на конденсаторе имеет вид:

.

Как и для 1 случая, можно найти максимумы значений тока в контуре и напряжения на индуктивности:

,

и графики временных зависимостей токов и напряжений будут аналогичны предыдущему случаю.

3 случай. Периодический характер процесса.

Данный случай характеризуется выражением

,

т.е. корни характеристического уравнения и - комплексно сопряженные величины. Введем следующие обозначения:

, .

Тогда

.

Найдем выражение для тока в контуре:

.

Получили периодическую зависимость тока от времени, отсюда и название случая.

.

Введем новые переменные и следующим образом:

1)

2) .

Разделим и умножим выражение для на :

.

Найдем оставшуюся временную зависимость на конденсаторе. Имеем:

,

тогда

.

Заметим, что в данном случае мы имеем две постоянных времени.

График зависимости тока от времени будет иметь вид:

.

В общем виде график такого плана строится следующим образом. Очевидно, у этого графика есть 2 асимптоты – огибающие синусоиды, ведь график функции представляет собой синусоиду, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону.

Первая постоянная времени характеризует асимптоты-экспоненты, а вторая - - частоту синусоидальной функции.

Теперь займемся построением графиков непосредственно токов и напряжений. Выпишем для наглядности полученные временные зависимости:

График тока (а значит и напряжения на резисторе) будет иметь такую же структуру, как только что рассмотренный, только взятый с противоположным знаком (действительно, при замыкании контура конденсатор начинает разряжаться).

Из формулы следует, что график напряжения на индуктивности начинается из отрицательной области (в начальный момент времени), а график напряжения на конденсаторе – из такого же по модулю и противоположного по знаку значения. Напряжение на индуктивности уже достигло своего максимального значения и после коммутации спадает (по модулю), а на емкости – только приближается к максимальному значению. Исходя из этих соображений, можно качественно построить графики.

Отметим, что если , то , , т.е. график будет без затуханий: действительно, мощность не будет рассеиваться на активном элементе.

Короткое замыкание RLC цепи при постоянное напряжении.

Случай аналогичен предыдущему, только включим в цепь источник ЭДС. Второй закон Кирхгофа:

Пусть (в противном случае обозначим ), тогда

,

Характеристическое уравнение не меняется:

,

его корни имеют вид:

.

Определяем постоянные интегрирования. По 2-му закону Кирхгофа,

.

Исходя из законов коммутации, можно записать:

, ,

значит

.

Тогда можно записать следующие уравнения для нахождения постоянных интегрирования:

.

Найдем временные зависимости:

,

т.е.

.

Мы получили решение в общем случае. Теперь снова рассмотрим несколько частных случаев (таких же, как и в предыдущем случае, без источника) и построим соответствующие графики.

• - апериодический характер процесса;

Построим зависимость тока от времени. Снова руководствуемся теми же соображениями, что и в случае без источника. Поскольку мы выбрали

,

то , все графики неотрицательны. По 1-му закону коммутации, график тока начинается в нуле; поскольку в цепи постоянного тока находится емкость, характеристика и заканчивается в нуле, т.е. на графике зависимости имеется максимум: с точки зрения физики, конденсатор заряжается.

График начинается в нуле, а при : все напряжение источника приложено к разрыву цепи – емкости. Поскольку график представляет из себя суперпозицию двух экспонент, где-то на графике зависимости будет перегиб.

• - периодический характер процесса;

График зависимости тока от времени строится точно так же, как и в случае без источника. Особый интерес представляет построение графика .

Характеристика начинается в нуле, при . В общем случае зависимость выражается формулой

,

и поскольку процесс периодический, можно изобразить асимптоты-экспоненты, «запирающие» график зависимости в окрестности значения Е.

7