Лекции / Лекции (МП-2, Каратыгин) / 2 семестр 2005 / Лекция 09

Лекция №9.

Решение уравнений переменных состояния во временной области.

Итак, по МПС нам удалось сформировать следующую систему уравнений:

,

.

Кроме того, заданы состояние системы в нулевой момент времени и входное воздействие для . При этих условиях нам нужно определить вектор переменных состояния и все токи и напряжения цепи.

Сложности возникают с первым матричным дифференциальным уравнением. Попробуем решить задачу в одномерном случае, а затем каким-либо образом обобщить полученное решение на многомерный случай. Тогда мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка. Считаем, что нам известно :

.

Решаем уравнение при помощи метода вариации постоянных, как обычно, в 2 шага:

1. Принимаем , тогда

,

где .

2. Теперь считаем, что , тогда имеем:

Подставляем это выражение в исходное дифференциальное уравнение:

,

интегрируем:

.

Величину находим следующим образом:

.

Итак, окончательно:

.

Мы получили решение уравнения для скалярного (одномерного) случая. Попробуем провести обобщение на случай матричного уравнения.

Если в обычном алгебраическом уравнении

, то , т.е. .

Если же у нас матричное уравнение , то чтобы найти мы умножаем обе части уравнения на . Получаем:

.

Надо доопределить, что такое . Для этого находим алгебраическое дополнение матрицы и делим на ее определитель:

,

причем это выражение верно только для невырожденной матрицы .

Вернемся к полученному решению для одномерного случая. В нашем решении присутствует экспонента в степени , которая в многомерном случае превращается в экспоненту в степени матрица . Поэтому надо определить фундаментальную или переходную матрицу системы. Разложим функцию в ряд Тейлора:

,

где - это единичная матрица, - фундаментальная матрица системы.

Замечания:

1. Ряд для данной функции сходится .

2. Ф

   ?

   зачем такое требование на коммутативность? (2)

   ?

   почему произведение матриц коммутативно? (4)

   ундаментальная матрица – это квадратная матрица размерности (размер матрицы ) и все её члены зависят от .

Свойства:

1. 

2. , только если

3. 

4. 

5. , если матрица – невырожденная.

Ряд сходится достаточно быстро, поэтому на практике обычно ограничиваются первыми членами, но из-за этого нужно учитывать погрешность.

Выполним для функции обратное преобразование Лапласа:

,

где - оператор Лапласа. По определению обратной матрицы:

.

В знаменателе – полином й степени; в числителе – сумма матричных коэффициентов, умноженных на оператор Лапласа в соответствующей степени.

Теперь, когда мы определили фундаментальную матрицу, ее свойства и правила работы с ней, можно обобщить решение, полученное для скалярного случая:

,

это решение определяет вектор переменных состояния при , - начальные условия для вектора переменных состояния: это предыстория схемы при . Теперь определим вектор :

.

В этом уравнении первое слагаемое определяет реакцию системы на нулевое входное воздействие, второе и третье слагаемые определяют реакцию системы при нулевых начальных условиях.

У этого уравнения существуют 2 недостатка:

1. Необходимо вычисление фундаментальной матрицы, что влечет за собой либо разложение в ряд (а следственно, погрешность), либо получение аналитического выражения, связанного с громоздкими и сложными вычислениями (обратное преобразование Лапласа).

2. Под знаком интеграла имеем : в общем случае, зависимость неизвестна, поэтому получение решения в элементарных функциях не представляется возможным.

Попытаемся упростить полученное решение. Когда шла речь об интеграле Дюамеля, мы воспроизводили сложную функцию путем ее аппроксимации¹ к кусочно-постоянной функции (заданный интервал разбивали на маленькие участки, на каждом из которых функция ). Если теперь положим , а , то после интегрирования получаем:

.

Теперь для данного случая можно записать и , но полученным уравнением можно пользоваться для реализации такого же подхода, который использовался при получении интеграла Дюамеля (разбиение функции на ступеньки, причем для каждой из ступенек значение будет свое).

Решение уравнений переменных состояния в частотной области.

Применим к уравнению прямое преобразование Лапласа:

,

где и - преобразования по Лапласу вектора переменных состояния и вектора входных воздействий соответственно. Тогда, решая это уравнение относительно , получим:

,

тогда изображение по Лапласу для выходного вектора выглядит следующим образом:

,

.

Главное достоинство этого подхода состоит в том, что в результате мы получаем аналитическое решение.

Возьмем теперь нулевые начальные условия, , тогда

.

Но мы говорили о том, что для существует следующее выражение:

,

где - это матричная передаточная функция для системы с входов и выходов. Т.е. решение уравнения переменных состояния в частотной области позволяет в явном виде определить передаточную функцию для системы с входами и выходами, что достаточно важно на практике.

Мы пока будем работать с системой с одним входом и одним выходом. Вернемся к матрице , которая по определению равна:

,

где знаменатель – скалярное выражение, полином й степени, а числитель – сумма матриц, умноженная на оператор Лапласа в соответствующей степени. Существует алгоритм Суриана-Фрейма, позволяющий определить матричные коэффициенты числителя и степени , на которые они будут умножаться, а также скалярные коэффициенты знаменателя. Знаменатель представляет собой характеристическое уравнение системы (как раз то, которое мы получали из однородного дифференциального уравнения, из для операторного метода). Разложим этот полином на множители:

,

где - собственные частоты системы.

Теперь можем сформулировать следующие выводы:

1. Как только мы определили собственные частоты системы, с точностью до постоянного множителя становится известным знаменатель передаточной функции.

2. В зависимости от того, будут или не будут сокращаться с корнями функции числителя, они будут или не будут являться полюсами передаточной функции.

В линейной алгебре называются собственными значениями матрицы . Для их определения используется целый ряд алгоритмов, наиболее эффективным из которых является алгоритм QR.

Как-либо формально обозреть числитель рассматриваемого выражения и дать ему трактовку невозможно, однако поставим задачу определить нули этой функции. Сведем задачу нахождения нулей передаточной функции к определению полюсов некоторой вспомогательной системы. Для простоты будем рассматривать одномерный случай.

Итак, пусть для нашей системы заданы функции входа и выхода и передаточная функция (см. рисунок).

Введем понятие систем с обратными связями. Они используются для следующих целей. Когда мы подаем сигнал на основное звено системы , ясно, что у входного сигнала возможны какие-либо отклонения от номинального значения, которые передаст и на выход. Чем меньше отклонения от начального значения сигнала, тем лучше. Уменьшить отклонения можно следующим образом. Можно взять звено обратной связи , подать выходящий сигнал на это звено, и вывести его на сумматор (см. рисунок). Таким образом нам удастся снизить нестабильность реакции цепи на возмущениях.

Итак, пусть в системе есть основное звено , звено обратной связи , тогда система, состоящая из этих двух звеньев называется системой с обратными связями.

Попробуем «перевернуть» эту систему: возьмем за основу звено обратной связи (не зависящее от ), в цепь обратной связи поставим прямое звено (см. рисунок). То, что относится к внешней системе, будем на рисунке снабжать «крышечками». Такая система называется обратной системой. Поскольку наша система обладает одним входом и одним выходом,

,

.

Находим передаточную функцию обратной системы:

.

Учтем, что , тогда

.

Раскрывая скобки, получим:

.

Возьмем предел от этого выражения при :

,

значит нули будут полюсами , а полюса - нулями исходной передаточной функции.

Итак, чтобы определить нули исходной передаточной системы, нам нужно проделать следующее:

1. сформировать основную матрицу обратной системы ;

2. определить ее полюса (собственные значения) с помощью QR алгоритма;

3. взять предел при .

Вспоминаем второе уравнение для основной системы:

,

тогда

.

Теперь мы можем получить основное уравнение для обратной системы:

Поскольку не зависит от , новых реактивных элементов в обратную схему мы не привнесли. А значит при формировании обратной системы вектор переменных состояния исходной и обратной систем совпадают. Значит полученное уравнение действительно является основным уравнением для обратной системы:

.

1 Аппроксимация - приближенное выражение некоторых величин или объектов через другие более простые величины или объекты.

5