Лекции / Лекции (МП-2, Каратыгин) / 2 семестр 2005 / Лекция 08

Лекция №8.

Составим уравнения по МПС на примере конкретной задачи. Запишем искомую связь между токами (напряжениями) и их производными с использованием законов Кирхгоффа. Воспользуемся 1-м законом Кирхгоффа:

Теперь мы можем найти связь между напряжением на индуктивности и током через индуктивность:

.

Н

?

почему такое выражение для ?

ам удалось получить связь между производной от тока через индуктивность и самим током через индуктивность (и еще некоторыми слагаемыми). Теперь свяжем ток через емкость с напряжением на емкости:

При выводе этого выражения мы воспользовались следующими соображениями для выяснения коэффициента при :

.

Теперь мы можем записать в матричной форме основное уравнение по МПС:

.

Выходное уравнение:

.

Решаются подобные задачи в численном виде, приведем готовые ответы:

.

Недостатки:

1. Этот метод плохо формализуем.

2. Наличие взаимных индуктивностей существенно усложняет формирование уравнений.

Сведение формирования уравнения по методу переменных состояния к расчету цепи на постоянном токе.

Если и производные высших порядков равны нулю, то система уравнений по методу переменных состояния называется правильной системой. Тогда система уравнений по МПС примет вид:

.

Запишем оба эти уравнения в виде

,

где , размерности , , размерности ,

блочная матрица:

размерности .

Будем искать матрицу , поскольку в случае ее нахождения мы получим сразу все искомые матрицы. й столбец матрицы равен вектору :

,

при условии, что при , т.е. если все элементы вектора , за исключением го, равны нулю, а , то в результате произведения получим, что вектор будет равен му столбцу матрицы .

Значит теперь наша задача – привести вектор (вектор переменных состояния и входных воздействий) к нужному виду. Для этого нужно сделать следующее:

1. Заменяем все емкости коротким замыканием (обнуляем);

2. Заменяем все индуктивности на разрыв цепи (обнуляем);

3. Все источники ЭДС заменяем коротким замыканием (обнуляем);

4. Заменяем все источники тока разрывом цепи (обнуляем);

5. Заменяем -й элемент вектора единицей: – это единичный источник ЭДС для источников ЭДС и емкостей и единичный источник тока для источников тока и индуктивностей;

6. Проводим расчет цепи: определяем напряжения на индуктивностях и токи через емкости. Таким образом мы определим ;

7. Повторяем пункты 5 и 6 до тех пор, пока не превысит .

8. Переходим от к следующим образом.

, .

Тогда в матричном виде можно записать:

,

где - вектор токов через емкости размерности ;

- вектор напряжений на емкостях размерности ;

- квадратная диагональная матрица, на главной диагонали которой будут лежать собственные емкости системы;

Тогда

,

где - диагональная матрица, на главной диагонали которой лежат величины обратные емкостям. Обратимся к индуктивностям. Будем считать, что в нашей схеме индуктивностей, причем все они могут быть взаимосвязаны, тогда:

,

где - вектор токов через индуктивности размерности ;

- вектор напряжений на индуктивностях размерности ;

- матрица размерности, в общем случае не является диагональной: на ее главной диагонали лежат собственные индуктивности, взятые со знаком «+»; в случае наличия магнитных связей недиагональные элементы матрицы определяются как взаимные индуктивность между й и й индуктивностями.

Тогда

.

В случае наличия взаимных индуктивностей матрица не является диагональной, тогда с учетом введенных обозначений:

.

При формировании матрицы особое значение приобретает упорядочение элементов, т.е. рекомендуется сгруппировать сначала все емкости, затем все индуктивности (или наоборот), потому что в случае отсутствия взаимных индуктивностей получим диагональную матрицу. Если же в цепи есть взаимные индуктивности, то матрица в левом верхнем углу будет диагональной, а правая верхняя и левая нижняя блочные матрицы в будут нулевыми, что существенно упрощает работу с матрицей. Тогда

,

причем необязательно проделывать все описанные выше выкладки для всех элементов , достаточно ограничиться первыми элементами.

Теперь вернемся к нашему примеру.

.

Для источников запишем вектор :

.

Вектор содержит 3 элемента, значит описанный выше процесс мы должны будем проделать трижды: . Определяем :

• - первый столбец матрицы ;

В соответствие с нашей схемой, мы заменяем первый элемент вектора единичным источником (в данном случае, ). Очень важно правильно определить полярность источника! В данном случае полярность источника будет совпадать с выбранным направлением тока: сверху вниз. Эквивалентная схема для первого шага изображена на рисунке.

Но поскольку в нашей цепи содержится только один источник тока, полярность на его зажимах будет соответствовать источнику, а значит напряжение на этом участке будет учитываться с противоположным знаком!

?

можно поподробнее про знак…

Поскольку на выходе – закоротка,

.

Теперь формируем вектор :

.

• - второй столбец матрицы ;

Проделывая те же шаги, что и в первом случае, получим эквивалентную схему, изображенную на рисунке для . Снова обращаем внимание на полярность источника: ток в изначальной схеме течет сверху вниз, от + к – , соответственно источник будет направлен снизу вверх. Вектор вычисляется аналогично предыдущему случаю:

.

• - третий столбец матрицы ;

Третий элемент вектора - входное напряжение. Эквивалентная схема изображена на рисунке. Записываем вектор :

.

Теперь можем сразу записать матрицу :

.

Поскольку размерность вектора переменных состояния = 2, можем в матрице выделить следующие блоки: левая верхняя часть – это матрица , правая верхняя – это , левая нижняя – это и, наконец, правая нижняя часть – это скаляр .

Конечно, данный метод удобен только для проведения расчетов численными методами, для ручного счета он слишком сложен и громоздок.

Достоинства:

• Метод применим для цепей с взаимными индуктивностями и прост в исполнении.

Недостатки:

• Емкости заменяем на малые сопротивления, а индуктивности на большие сопротивления. Эта замена является источником погрешности.

• Также источником погрешности является обращение матриц и , особенно когда матрица недиагональна.

Формирование уравнений переменных состояния на основании передаточной функции цепи: метод Бека.

Как уже было сказано, передаточную функцию можно определить экспериментально. Кроме того, исходя из этой функции, можно построить математическую модель цепи. Итак пусть дана передаточная функция , имеющая следующий вид:

,

которая задана своими полиномами числителя и знаменателя, причем . Наша задача – сформировать по этой функции уравнения переменных состояния. Введем функцию следующим образом:

, .

Основной смысл вводимого определения состоит в следующем ее свойстве:

,

причем , поскольку порядок системы . Очевидно, что

, .

Выражение для запишем в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое соответствует , второе – всей оставшейся сумме:

.

Поскольку ,

.

Теперь формируем уравнения по МПС! Отметим следующие свойства слагаемых из суммы . В первой системе записаны свойства, о которых говорилось выше. Вторая система записана получена из первой следующим путем. Передаточная функция определена при нулевых начальных условиях. Тогда выполнив обратное преобразование Лапласа для каждого из уравнений первой системы, получим:

.

Подобным образом переводим уравнение в область времен:

.

Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений первой степени вида:

,

.

Это не единственный метод формирования уравнений по передаточной функции цепи: существует т.н. метод Джонсона и др. Полученная нами выше форма уравнений переменных состояния называется канонической формой фазовой переменной. Этот метод широко используется в современной теории автоматического управления.

6