Лекции / Лекции (МП-2, Каратыгин) / 2 семестр 2005 / Лекция 06

Лекция №6.

Пусть - дробно рациональная функция, где уравнение не имеет кратных корней и не имеет корней, совпадающих с корнями уравнения (в противном случае мы сокращаем числитель и знаменатель на общий множитель и рассматриваем новую дробь). В этом случае может быть представлена в виде:

,

где - корни уравнения . Докажем это: найдем . Для этого умножим правую и левую части уравнения на и возьмем предел при :

В правой части:

.

В левой части мы из под знака предела можем вынести , поскольку среди его корней нет , тогда под знаком предела получится производная:

,

значит

.

Тогда функция имеет вид:

,

теорема разложения доказана. Рассмотрим теперь частные случаи.

1. Уравнение имеет корень ;

Это возможно только в том случае, когда в цепи присутствуют постоянные источники ЭДС или тока. Тогда разложение примет вид:

,

где первое слагаемое определяет установившееся значение тока или напряжения.

2. Уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней: .

Этот случай возможен, когда в цепи действуют синусоидальные источники ЭДС или тока. Тогда разложение примет вид:

,

где сумма первых двух слагаемых определяет установившееся значение синусоидальных тока или напряжения.

3. Уравнение имеет корень кратности .

Тогда разложение имеет вид (результат приведен без вывода):

,

где

,

оригинал получившегося выражения выглядит следующим образом:

.

Полученное выражение можно немного упростить:

,

где m – кратность k – го корня .

Существуют 2 «замечательных» предела, позволяющие проверить получившийся результат, прежде чем переходить от изображений к оригиналам. Пусть нам удалось найти изображение по Лапласу искомой функции, тогда должны выполняться следующие равенства:

,

т.е. по значению оригинальной функции в момент времени сразу после коммутации и по установившемуся режиму (принужденная составляющая функции) мы можем судить о правильности полученного изображения. Однако эти условия являются необходимыми, но не достаточными условиями правильности решения.

Существуют 2 подхода к решению цепей операторным методом:

1-й подход:

• записывается система интегрально-дифференциальных уравнений;

• применяем к полученной системе прямое преобразование Лапласа;

• записывается дифференциальное уравнение для требуемой переменной;

• определяем изображение по Лапласу требуемой переменной;

• определяем оригинал требуемой переменной (с помощью таблиц или с помощью теоремы разложения).

2-й подход:

• рисуем операторную схему замещения;

• поскольку мы перешли в область линейных уравнений, справедливы МУП, МКТ, метод эквивалентного генератора, метод наложения и т.д.;

• решаем схему и определяем изображение по Лапласу требуемой переменной;

• определяем оригинал требуемой переменной (с помощью таблиц или с помощью теоремы разложения).

Расчет переходных процессов при воздействии импульсных ЭДС и ЭДС произвольной формы.

Введем понятия импульсных ЭДС.

Импульсная ЭДС нулевого порядка - -единичная функция Хевисайда, импульсная ЭДС первого порядка - дельта-функция Дирака.

Дельта-функция Дирака доопределяется следующим образом:

.

Выше (первый семестр) говорилось о том, что

,

или в обратную сторону:

.

Пусть Е – импульсная ЭДС нулевого порядка, тогда, как известно, при замыкании , и – цепей соответственно, для токов получаются следующие выражения:

.

Любое из этих соотношений может быть переписано в виде:

,

где соответственно для каждого из случаев

,

- переходная проводимость цепи.

Физический смысл: численно равна реакции цепи на единичный скачок напряжения. Кроме того, определяется только параметрами цепи.

С другой стороны, для напряжения на индуктивности имеем:

,

поскольку экспонента – величина безразмерная; тогда - переходная характеристика цепи.

Пусть - импульсная ЭДС первого порядка. Будем рассматривать этот случай как 2 скачка: первый скачок происходит в момент времени , а второй- при , , но . Рассмотрим реакцию цепи.

,

где - импульсная проводимость цепи, а в общем случае - импульсная характеристика цепи.

Таким образом, алгоритм расчета цепи состоит в следующем:

1. определяем реакцию цепи на единичный скачок напряжения (тока);

2. берем производную от полученной функции – определяем импульсную характеристику;

3. считаем реакцию.

Рассмотрим в качестве примера - цепь. Придерживаясь указанного алгоритма, получим следующий результат:

, , .

Построим график зависимости и обратим внимание на физический смысл результата.

До коммутации ток в цепи не протекал (см. определение импульсной ЭДС 1 порядка). В нулевой момент времени на цепь действует импульс бесконечной амплитуды. За счет скачка амплитуды ЭДС происходит и скачок тока. Конечная постоянная говорит нам о том, что и энергия, передаваемая цепи, конечна. А значит, вся энергия должна рассеяться на сопротивлении, что мы и видим из графика: ток убывает до нуля.

ЭДС произвольной формы.

Рассмотрим воздействие на абстрактную цепь ЭДС произвольной формы. Пусть . Разобьем функцию на равные временные интервалы (см. график), тогда - приращение напряжения в момент времени . Тогда

.

Каждая «ступенька» представляет собой импульсную ЭДС нулевого порядка, тогда реакция цепи на воздействие й «ступеньки» будет выглядеть следующим образом:

.

Общая реакция цепи представляет собой сумму реакций от отдельных «ступенек» и может быть записана в виде:

.

П

?

почему верхний предел интегрирования не ? Потому что все, что больше , все равно ноль даст?

ереходя к пределу при , , , получим:

.

Последние 4 выражения представляют собой 4 формы интеграла Дюамеля. В зависимости от вида входного воздействия и от переходной или импульсной характеристики цепи используется та или иная форма. Если в начальный момент времени , есть смысл пользоваться 1 или 2 формой.

Рассмотрим цепь (см. рисунок), где - фактически, передний фронт прямоугольного импульса (см. график). Решим эту задачу с помощью операторного метода с и помощью интеграла Дюамеля.

1. Операторный метод

Изображение входного воздействия будет выглядеть следующим образом:

.

Операторное сопротивление и ток соответственно имеют вид:

.

Осуществим переход к оригиналам:

,

где в данном случае не зависит от . Воспользуемся теоремой разложения:

.

Корни уравнения имеют вид:

, .

Тогда по теореме разложения

.

Вычислим отдельно каждое из слагаемых, затем сложим:

,

.

2. Интеграл Дюамеля

В начальный момент входное воздействие = 0, поэтому воспользуемся 1 формой:

?

откуда взяли такую передаточную функцию? Предположили, что она известна (напряжение на конденсаторе при перех. проц.)?

,

где . Далее вместо будем писать :

.

- передаточная функция – реакция цепи на единичное воздействие:

.

Берем интеграл и находим зависимость :

.

5