Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Электротехника

Файл:

Лекция 05

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.04.2013

Размер:

444.93 Кб

Скачать

☆

Лекция №5

Операторный метод расчета переходных процессов.

Смысл операторного метода расчета – переход от дифференциальных уравнений к линейным. Если функция удовлетворяет условию Дирихле: является непрерывной или имеет на конечном интервале времени конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, и

то данная функция представима в виде:

, где - оператор Лапласа.

Интеграл имеет конечное значение в том случае, если растет не быстрее, чем :

где и - конечные вещественные числа, причем . Подобное преобразование функции получило название преобразование Лапласа.

Следующий интеграл представляет собой обратное преобразование Лапласа – переход из области изображений в область оригиналов:

Размерность переменной (т.е. тока или напряжения) в области изображений равна размерности оригинала, умноженной на секунду. Существует т.н. преобразование Карссона, для которого размерность изображения совпадает с размерностью оригинала:

Итак, с помощью преобразования Лапласа определим изображение функции :

где L – оператор Лапласа. Рассмотрим свойства функций и :

Если , то

Если и , то

Пусть , тогда

где - затухающая функция при , а - единичный вектор, т.е. получаем произведение затухающей функции на ограниченную, которое в пределе дает 0, поэтому

Пусть , найдем изображение функции :

Снова возникает неопределенность в верхней подстановке, т.е. при . Для того, чтобы интеграл имел конечное значение, должно расти не быстрее чем (см. начало лекции). Поэтому затухает быстрее, чем растет . Поэтому произведение этих функций при стремится к нулю, а значит

таким образом,

В общем случае для производной n-го порядка при ненулевых начальных условиях имеем:

При нулевых начальных условиях имеем:

Пусть , найдем изображение функции :

Нижняя подстановка в первом слагаемом, очевидно, = 0. Поскольку функция растет не быстрее, чем , интеграл тем более будет расти не быстрее, тогда и верхняя подстановка в первом слагаемом в пределе обращается в ноль, тогда

, т.е.

причем это выражение справедливо как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях.

!ВАЖНО! В общем случае преобразование Лапласа для ненулевых начальных условий отличается от преобразования для нулевых начальных условий (см. свойство 4).

Рассмотрим конкретные примеры: найдем изображения по Лапласу токов и напряжений на реактивных элементах. Пусть , найдем изображение функции :

Теперь найдем изображение функции :

Не забываем о том, что изображением константы по Лапласу является эта константа, умноженная на р, тогда

эти значения получили название операторные сопротивления индуктивности и емкости соответственно.

Пусть , найдем изображение этой функции;

верхний предел обращается в ноль из тех же соображений, что и в предыдущих случаях.

Пусть , найдем изображение этой функции, сведя этот случай к предыдущему. Интеграл брать непосредственно мы не будем, а воспользуемся выражением комплексного синуса через экспоненты:

Аналогичное выражение можно получить для :

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа – о сумме токов для узла или сечения:

аналогично и для изображений:

Второй закон Кирхгофа:

где индекс k в правой части уравнения подразумевает «контурная ЭДС». Для изображений имеем:

Рассмотрим законы Ома в операторной форме на примере RLC – контура. При записи законов Ома обязательно нужно задаваться положительными значениями токов и напряжений.

Выбрав для изображенного участка цепи условно-положительные направления тока и напряжения, запишем 2-й закон Кирхгофа:

применяя преобразование Лапласа, получаем:

Обратим внимание на то, что в получившемся уравнении фигурирует и первый, и второй законы коммутации. Тогда

где - операторное сопротивление цепи, тогда

Данное выражение представляет собой запись закона Ома в операторной форме в общем случае. При нулевых начальных значениях

При ненулевых начальных условиях всегда нужно учитывать начальные значения токов и напряжений, и тогда при переходе в область изображений по Лапласу элементы цепи будут преобразовываться следующим образом (см. рисунок).

Отметим, что полярность изображений источников энергии сохраняется (см. 3 свойство). В силу закона Ома в операторной форме, активное сопротивление R отображается само в себя, без деления на p.

При переходе в область изображений по Лапласу индуктивность и емкость заменяются активными элементами. Для индуктивности:

Для емкости:

Поэтому при ненулевых начальных условиях нужно обязательно учитывать дополнительные активные элементы.

Последовательное соединение элементов.

тогда

где .

Вывод: при последовательном соединении операторные сопротивления складываются.

Параллельное соединение элементов.

Возьмем цепь, состоящую из двух параллельно соединенных элементов. Для первой ветви:

аналогично записываем уравнение для 2 ветви:

Первый закон Кирхгофа:

При нулевых начальных условиях:

где - операторная проводимость ветви.

Только при нулевых начальных условиях мы можем представить ток при параллельном соединении элементов в виде произведения напряжения на операторную проводимость.

Расчет переходных процессов операторным методом.

Разберем решение операторным методом все те же задачи, которые мы решали классическим методом.

RL-цепь на постоянном токе. Сначала изобразим операторную схему замещения с учетом нулевых начальных условий (см. рисунок).Тогда для операторного тока получим:

где , тогда

получили тот же самый результат, что и классическим методом, только затратив гораздо меньше усилий.

RС-цепь на постоянном токе. Опять считаем начальные условия нулевыми.

где .

RLС-цепь на постоянном токе.

В зависимости от корней выражения в знаменателе и решение будет иметь тот или иной вид. Возьмем «наименее приятный» случай – периодический процесс. В этом случае

где ; .

Ниже разговор пойдет о теореме смещения, и мы покажем, что в случае зависимости изображения не от , а от оригинал действительно будет домножаться на .

При нулевых начальных условиях расчет цепи с помощью операторного метода совпадает с комплексным методом расчета за исключением нахождения оригинала.

Переход от изображений к оригиналам.

С точки зрения математики, переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью следующей формулы:

Однако этой формулой мы пользоваться не будем.

Формулы изображений по Лапласу для экспоненты периодических функций, константы мы уже получили. Ключ моделируется с помощью единичной функции Хевисайда:

эта функция удовлетворяет условиям отображения функции по Лапласу и позволяет смоделировать замыкание цепи, если замыкание ключа происходит в момент времени .