Лекции / Лекции (МП-2, Каратыгин) / 2 семестр 2005 / Лекция 03

Лекция №3

Классический метод расчета переходных процессов.

Возьмем последовательный контур, изображенный на рисунке и запишем для него 2 закон Кирхгофа (законы Кирхгофа выполняются и для переходных процессов):

,

причем в данном случае на не накладывается никаких определенных условий. Продифференцируем это выражение по :

.

То же самое уравнение мы можем записать для установившегося режима:

,

здесь - установившееся значение тока, которое переменный ток принимает после окончания переходного процесса, то есть при . Мы будем обозначать как - принужденный ток. Назовем свободным током разность между переходным током и установившимся током. Тогда мы можем сказать, что переходной ток будет равен сумме свободной составляющей и установившейся составляющей:

, .

Используя полученные равенства, мы можем также составить подобное уравнение и для свободной составляющей:

.

Свободная составляющая тока не зависит от входного воздействия и определяется только параметрами цепи. Разложение тока на составляющие – свободною и установившуюся – чисто математический прием. Решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного частного уравнения. В теории цепей поступили точно также, разложив ток на составляющие: однородную - и неоднородную - . Никаких свободных составляющих тока на самом деле не существует, это чисто математический элемент!

Для дифференциального уравнения -го порядка, если нужно определить ток в -й ветви, можно записать:

,

и решение этого уравнения будет выглядеть как

,

где коэффициенты определяются из характеристического уравнения

,

а коэффициенты определяются из начальных условий (законов коммутации). Для нашего случая (цепь второго порядка):

.

Характеристическое уравнение имеет вид , его корни имеют вид:

.

Короткое замыкание RL цепи.

Пусть дана цепь, изображенная на рисунке. В результате коммутации ключ переходит из разомкнутого состояния в замкнутое. Произойдет переходной процесс, потому что до замыкания ключа ток через протекал, а после замыкания ключа - нет. Найдем ток, который протекает в этой цепи. Запишем дифференциальное уравнение для момента времени после коммутации:

.

Решение этого уравнение имеет вид

.

Так как после замыкания ключа ток через индуктивность не потечет (на источник и резистор кинута закоротка), . Тогда общее решение нашего однородного дифференциального уравнения имеет вид

,

где определяется из характеристического уравнения:

.

Показатель экспоненты является безразмерной величиной, тогда назовем величину постоянной времени RL – цепи. Итак,

Определим постоянную интегрирования. Вспомним первый закон коммутации:

,

тогда искомый ток:

.

Обратим внимание на постоянную , и посмотрим отрезок СD: заметим, что проекция свободной составляющей на ось времен в любой точке равна , хотя на рисунке свободная составляющая будет совпадать с переходным током.

В рассмотренном переходном процессе на сопротивлении рассеивается некоторая энергия, причем все время меняется:

Вся энергия, накопленная на индуктивности, в результате переходного процесса рассеялась на сопротивлении.

Включение RL цепи на постоянное напряжение.

Действуем точно так же, как и в предыдущем примере. Записываем 2 закон Кирхгофа и выражения для свободного и принужденного токов:

Решая характеристическое уравнение, находим p и постоянную времени:

Пользуясь законами коммутации, находим постоянную интегрирования:

Записываем окончательное выражение для тока через индуктивность:

.

Теперь найдем напряжение на индуктивности:

;

Постоянная времени одинакова для всех процессов цепи!

Рассмотрим поведение индуктивности в переходном процессе. В начальный момент времени , т.е. все напряжение источника приложено к зажимам индуктивности. Кроме того, по 1 закону коммутации, ток через индуктивности до и после коммутации одинаков. Значит индуктивность в начальный момент времени после коммутации ведет себя как источник тока.

Включение RL цепи на источник синусоидального напряжения.

Проделываем те же ходы, что и в предыдущих случаях, только с учетом синусоидального принуждающего напряжения:

.

Второй закон Кирхгофа теперь имеет вид:

;

.

Принуждающая составляющая тока после коммутации является синусоидальной функцией той же частоты, что и источник, а амплитуда его не зависит от времени:

;

;

;

Как говорилось выше, свободная составляющая тока не зависит от входного воздействия:

;

;

Итак, общий ток в контуре после коммутации равен:

.

В начальный момент времени до коммутации

,

тогда

.

Ток в начальный момент времени равен нулю, значит характеристики свободного и принужденного токов начинаются со значений равных по модулю и противоположных по знаку (равные расстояния по оси ординат отмечены на графике). Результирующий график получается сложением двух графиков. Со временем характеристика результирующего тока бесконечно близко приближается к принуждающему воздействию.

Заметим, что при установившийся режим наступает сразу после коммутации (свободная составляющая будет отсутствовать, поскольку ).

Включение RC цепи на постоянном токе.

В этой задаче нам нужно будет воспользоваться 2 законом коммутации и сначала искать напряжение на конденсаторе, поскольку именно оно не меняется при коммутации. Итак, по 2 закону Кирхгофа:

, т.е. все напряжение источника будет приложено на емкость, поскольку она является разрывом цепи.

.

.

Значит, напряжение на конденсаторе имеет вид:

.

До замыкания ключа

,

цепь была разомкнута. По 2 закону коммутации:

Теперь можно найти ток, протекающий через конденсатор:

.

По второму закону коммутации, емкость сохраняет значение напряжения, т.е. в переходном процессе емкость ведет себя как источник ЭДС.

Переходные процессы при изменении параметров цепи.

Применяя тот же подход, найдем ток через индуктивность . По законам Кирхгофа составим систему из 3 дифференциальных уравнений, из них получим дифференциальное уравнение для требуемой переменной.

.

Для первого контура второй закон Кирхгофа:

Для второго контура второй закон Кирхгофа:

Выразим из последнего уравнения :

.

Подставим в уравнение уравнение с учетом преобразованного уравнения :

,

получили дифференциальное уравнение относительно :

.

теперь найдем решение полученного уравнения:

.

Чтобы определить , запишем характеристическое уравнение:

.

До коммутации

,

тогда по 1 закону коммутации:

.

Очевидно, характеристика тока через индуктивность будет убывать до какого-то определенного ненулевого значения, поскольку в цепь был включен делитель тока.

Данный метод неудобен, так как слишком громоздок. Рассмотрим более удобные методы для различных цепей.

Если рассматриваемая цепь – первого порядка (содержит один реактивный элемент), то применим следующий метод. Рассмотрим ту же цепь, что и в предыдущем примере. Исключим из нее индуктивность и источник напряжения (с учетом внутреннего сопротивления, он обратится в закоротку).

Дифференциальное уравнение в данном случае будет первого порядка (только один накопитель – индуктивность). Значит конечное выражение для тока имеет вид:

.

В классическом методе расчета основная трудность состояла в определении постоянной времени, постоянная интегрирования сравнительно просто определялась из законов коммутации. Оказывается, можно определить проще:

,

где - сопротивление цепи относительно зажимов реактивного элементов с учетом внутреннего сопротивления источников ЭДС и тока. В нашем случае:

.

Отметим, что при таком подходе нам не пришлось проделывать трудоемкое решение дифференциальных уравнений. Для емкости выражение для приобретает вид:

.

Задачи с некорректными начальными условиями.

Перед нами цепь первого порядка (после коммутации 2 последовательно соединенные индуктивности можно объединить в одну). Решаем так же, как и предыдущие задачи:

;

;

; ; .

Посмотрим, что произошло в момент коммутации. После коммутации по 1 закону Кирхгофа для неразветвленного участка цепи,

,

действительно, индуктивности находятся в одной ветви, значит и ток через них протекает один и тот же. С другой стороны, до коммутации

; .

Данный тип задач называется задачей с некорректными начальными условиями.

Ток в момент коммутации меняется скачком. Запишем уравнения в несколько ином виде. По 2 закону Кирхгофа,

.

Чтобы понять, что произошло в нулевой момент времени, проинтегрируем оба уравнения в интервале от до :

;

Даже если ток изменился скачком, интеграл

,

значит

.

Последнее уравнение можно переписать в виде:

,

.

При некорректных условиях мы переходим от сохранения тока к сохранению магнитного потока. Если в условиях данной задачи ток через индуктивность не сохраняется, то должен сохраняться магнитный поток. Исходя из этой формулировки первого закона коммутации, запишем:

.

Рассмотрим, как с энергетической точки зрения происходит скачок тока.

Значение тока сразу после коммутации должно находиться между двумя начальными значениями (в нашем случае, между 0 и ), потому что при скачке тока на индуктивности будет бесконечное напряжение и, соответственно, на ней будет выделяться бесконечная мощность. Но если у одной индуктивности скачок будет отрицательным, т.е. она будет отдавать энергию в цепь, то скачок тока на второй индуктивности будет обусловлен не за счет энергии источника, а за счет энергии, которую отдаст в цепь первая индуктивность. Для емкостей будет аналогичная ситуация, только со скачком напряжения, и будет сохраняться заряд.

Чтобы обеспечить скачок тока или напряжения, источник должен обладать бесконечной мощностью, что невозможно. Поэтому и начальные условия называются некорректными.

7