Лекция 11.

Вернемся к характеристикам для входного сопротивления из прошлой лекции. Отметим еще некоторые общие правила по тому, где начинается и где заканчивается характеристика. Были характеристики следующего плана:

Итак, если есть путь по индуктивностям, то характеристика начинается в нуле, если такого пути нет – в полюсе. Если есть путь по емкостям, то характеристика заканчивается в нуле, если такого пути нет, то характеристика заканчивается на бесконечности (в полюсе).

Теперь возвращаемся к теме «периодические несинусоидальные функции».

Общие характеристики периодических несинусоидальных токов и напряжений.

1. максимальные значения: ;

2. действующие значения:

.

Посмотрим, что происходит, если

.

Тогда для подкоренного выражения в формуле для действующего значения имеем:

Раскроем квадрат суммы. Получим две суммы: в первой - сумма квадратов собственных гармоник, во второй - удвоенное произведение гармоник с различными номерами:

Вытаскиваем сумму за знак интеграла:

Вторая сумма в этом выражении равно нулю, т.к. подынтегральное выражение представляет собой произведение двух ортогональных функций. Слагаемые первой суммы представляют из себя квадраты действующих значений по всем гармоникам:

.

То же самое справедливо для ЭДС, напряжений и т.п. Итак, с учетом корня, имеем:

.

Действующее значение периодической несинусоидальной функции равно корню квадратному из квадрата постоянной составляющей плюс сумма квадратов действующих значений всех гармоник. Понятно, что для действующих значений синусоидальных токов:

,

Действующее значение для любых других периодических токов вычисляется по полученной выше формуле.

3. - постоянная составляющая, поскольку среднее значение остальных синусоидальных гармоник есть ноль;

4. - средневыпрямленное значение.

Для синусоидальных токов:

.

Коэффициенты, характеризующие форму периодических несинусоидальных функций.

1. Коэффициент амплитуды: ; для синусоидальных токов ;

2. Коэффициент формы: ; для синусоидальных токов ;

3. Коэффициент искажений; он равен отношению действующего значения основной гармоники к действующему значению функции: ; для синусоидальных токов .

4. Коэффициент гармоник; равен отношению корня квадратного из суммы квадратов действующих значений высших гармоник к действующему значению основной гармоники: .

Если отсутствует постоянная составляющая, т.е. , то это выражение может быть преобразовано к виду:

.

Измерение периодических несинусоидальных токов и напряжений.

Р

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

ассмотренные нами выше основные параметры несинусоидальных функций меряют с помощью следующих приборов. Электромагнитная (рис.1), электродинамическая (рис.2), тепловая (рис.3) системы меряют действующие значения функций. Магнитоэлектрическая система (рис.4) меряет среднее значение функции. Магнитоэлектрическая система с детекторным преобразователем (выпрямительная система) (рис.5) меряет средне-выпрямленное значение (среднее по модулю), но отградуирована на действующее значение синусоиды:

.

Электронная система меряет максимальные значения, но отградуирована на действующие значения синусоиды:

.

Выберем три сигнала с действующими значениями напряжения равными 10 В: синусоида; ломаная, где время положительного импульса равно времени отрицательного импульса; ломаная, где время импульса равно времени паузы. Посмотрим, что покажут приборы для каждого из сигналов.

	1	2	3
Электромагнитная, электродинамическая, тепловая системы , В	10	10	10
, В	14,1	10	14,1
Электронная система , В	10		10
Магнитоэлектрическая система с детекторным преобразователем , В	10	11,1
Магнитоэлектрическая система , В	0	0

Расчет линейных цепей при периодических несинусоидальных токах и напряжениях.

1. Раскладываем исходную функцию в ряд Фурье, определяем количество членов, которые вносят существенный вклад в эту функцию;

2. Проводим расчет по постоянному току и по каждой гармонике;

3. Записываем результат, используя принцип суперпозиции.

Обратим внимание на то, что активное сопротивление R не зависит от , на постоянном токе (нижний индекс означает номер гармоники: нулевая гармоника – постоянный ток),

.

Как правило, в задачах разложение функции в ряд Фурье дано по условию. Однако сопротивление может быть дано для любой из гармоник! Это сопротивление должно быть пересчитано к той гармонике, которая есть во входном воздействии.

Пример. Рассмотрим простейшую цепочку. Дано внешнее напряжение:

.

Нужно определить ток через амперметр .

Решение:

Проводим расчет по каждой гармонике. Ясно, что в реакции цепи будут только те гармоники, которые есть во входном воздействии.

,

это выражение можно получить, используя комплексный метод расчета:

- для первой гармоники, .

,

где , . Теперь аналогично для третьей гармоники:

,

где . Таким образом, по принципу суперпозиции, записываем:

.

Амперметр показывает действующее значение:

.

Замечание: С ростом частоты сопротивление индуктивности увеличивается. Если рассматривать выходное напряжение , то постоянная составляющая как была на входе, точно так же (не изменяясь) придет на выход, поскольку наличие индуктивности на нее влияния не оказывает. За счет увеличения номера гармоники влияние высших гармоник на выходе в такой схеме будет существенно снижаться.

Мощности при периодических несинусоидальных токах и напряжениях.

1. Мгновенная мощность:

;

2. Активная мощность:

.

Последняя сумма обращается, в ноль, т.к. представляет из себя произведение ортогональных функций за период, значит активная мощность равна сумме активных мощностей на каждой гармонике:

3. Реактивная мощность;

Для синусоидальных токов было введено определение:

По аналогии введем определение реактивной мощности и для несинусоидальных воздействий: на постоянном токе , значит реактивная мощность равна сумме реактивных мощностей на каждой гармонике:

.

Но не совсем ясно, имеет такая аналогия право на существование, или нет. Существует еще один подход, который называется метод эквивалентной синусоиды.

Метод эквивалентной синусоиды.

Данный метод заключается в следующем: по определению реактивной мощности,

,

т.е. можно нашему периодическому несинусоидальному воздействию поставить в соответствие такую синусоиду, чтобы для нее было справедливо это выражение для реактивной мощности. Тогда, очевидно,

Чуть ранее мы получили, что . Поставим в соответствие такую синусоиду, что

,

где и - действующие значения нашей периодической несинусоидальной функции. Т.е. активной мощности ставится в соответствие та же самая активная мощность, но для синусоиды. Вычисляется значение , после чего полученное значение используется для вычисления реактивной мощности.

При решении задач удобно поступать следующим образом. Если в разложении функции по условию присутствуют постоянная составляющая и одна гармоника, то применяем первый метод:

,

для той гармоники, которая дана во входном воздействии. Если дано более одной гармоники, нужно уточнить у преподавателя, каким методом нужно считать, через сумму (первый метод), или при помощи эквивалентной синусоиды.

Коэффициент мощности.

По определению,

.

Чем больше будет высших гармоник во входном воздействии, тем более будет стремиться к нулю. Если мы сделали замену эквивалентной синусоидой, то коэффициент мощности равен:

.

Общие свойства четырехполюсников.

Четырехполюсники – это устройства, служащие для передачи энергии или сигнала и имеющие 2 входных и 2 выходных зажима.

Примеры четырехполюсников:

• взаимная индуктивность (трансформатор);

• фильтр;

• транзистор (трехполюсник, но может

рассматриватся как четырехполюсник);

• аналогично, операционный усилитель.

Четырехполюсники бывают активные и пассивные. Пассивные не содержат в своем составе источников энергии, или они взаимно скомпенсированы. Активные четырехполюсники содержат в своем составе нескомпенсированные источники энергии. Будем рассматривать свойства четырехполюсников на синусоидальном токе.

Итак, есть входные и выходные токи и напряжения. Направление токов и напряжений выбираем таким образом, чтобы оно соответствовало передаче энергии от источника (первичных зажимов) в нагрузку. Описать четырехполюсник – значит найти связь между парами входных и выходных токов и напряжений.

Запишем по МКТ уравнения для нашей цепи (собственные сопротивления контуров четырехполюсника):

Обозначим - наше выходное напряжение, тогда:

По правилу Крамера решаем систему:

.

Понятно, что - проводимость. Введем следующие обозначения:

, , , ,

тогда связь между входными и выходными токами и напряжениями будет выглядеть следующим образом:

Это система уравнений получила название «система в параметрах».

7