-1-

СЕМИНАР № 1

ЗАДАЧА 1.

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: i1 – ток, протекающий через резистор R₂ и индуктивность L. (кл. мет.)

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RL.

1) Запишем уравнения по 2- ому закону Кирхгофа для мгновенного значения:

L* d i₁ / d t + R₂ * i₁ = U - дифференциальное уравнение первого порядка

i₁ (t) = i_пр. (t) + i_св. (t) - решение уравнение будем искать в таком виде

i_пр. (t) находится из уравнения L* d i₁ / d t + R₂ * i₁ = U - как частное решение неоднородного линейного диф. уравнения 1-ого пор.

i_св. (t) находится из уравнения L* d i₁ / d t + R₂ * i₁ =0, как общее решение однородного диф. уравнения первого порядка.

i_пр. (t) – принуждённая составляющая искомого тока i₁ (t) .

i_св. (t) – свободная составляющая искомого тока i₁ (t) .

2) Рассчитаем принуждённую составляющую тока i_пр. (t) , для этого изобразим данную принципиальную схему после коммутации в установившемся режиме.

так как в установившемся режиме индуктивность не будет влиять на процесс протекания тока, то i_пр. (t)

найдём по формуле:

-2-

i_пр(t) = U / R₂ - это решение уравнения при установившемся режиме до коммутации.

Подставим известные величины: i_пр. (t) = 120/3 = 40A

3) Найдём свободную составляющую тока i_св.(t) , решив уравнение :

L* d i₁ / d t + R₂ * i₁ = 0

3a)

Решение будем искать в виде : i_св.(t) = А*е^pt при t=0 , i_св.(0) = А,

где p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

d i₁ / d t = А*p*е^pt , i_св.(t) = А*е^pt => L* А*p*е^pt + R₂ А*е^pt = 0

Отсюда получим, что: p = - R₂/L ; подставив значения получим : P = -1.5

Найдем t = -1/p = 1/1.5 = 2/3

3б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся

первым законом коммутации: i_L (-0) = i_L (+0)

Так как в схеме до коммутаций цепь была разомкнута и ток равнялся 0 во всех ветвях, то запишем равенство:

i_L (-0) = i_L (+0) = 0 = i_св.(+0) + i_пр.(+0) = А + 40 ; А = -40;

4) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

i₁(t) = i_св.(t) + i_пр.(t) =

= U / R₂ - U / R₂ *e^-R/L =-40*e^-3t/2 + 40

5. Построим график : i₁(t)

I(t) i_пр(t)

40

i1(-0) i_св(t)

40 tc. .

-3-

ЗАДАЧА № 2

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: i1 – ток, протекающий через резистор R₂ и индуктивность L.

(классический метод)

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RL.

1. Найдём принуждённую составляющую i_пр.(t), для этого изобразим данную схему в установившемся режиме после коммутации:

Очевидно, что после коммутации в установившемся режиме при разомкнутой цепи тока не будет ни в одной ветви, поэтому:

i_пр.(t) = 0

2) Найдём свободную составляющую тока i_св.(t) , решив однородное уравнение :

L* d i_1св / d t +( R₁+R₂ )* i_1св = 0

2a)Решение будем искать в виде : i_св.(t) = А*е^pt при t=0 , i_св.(t) = А,

где p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

d i₁ / d t = А*p*е^pt ,i_св.(t) = А*е^pt => L* А*p*е^pt + (R₁+ R₂ )А*е^pt = 0

Отсюда: p = - (R₁+ R₂ )/L; подставим значения и найдём p:

p = -3

2Б) Найдём постоянную интегрирования a, для этого воспользуемся

первым законом коммутации: i_L (-0) = i_L (+0)

Для этого найдём ток до коммутации в установившемся режиме:

-4-

i₁ (-0) = U/R₂

Подставим известные величины:

i_1. (t) = 120/3 = 40A

Теперь можно найти постоянную А:

40=i_св.(+0) + i_пр.(+0) = А + 0

А = 40

3) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

i₁(t) = i_св.(t) + i_пр.(t) =

= U / R₂ *e^-R/L + 0 =40*e^-3t/2

4) Построим график:

i₁(-0) i₁(t) A

40

i_св(t)

i_пр.(t)

0. t c.

-5-

СЕМИНАР № 2

ЗАДАЧА 1.

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: U_c(t) – напряжение на конденсаторе. ( классический метод)

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RС.

1. Запишем уравнения по 2- ому закону Кирхгофа для мгновенного значения:

U_R2 + U_c – U=0 =>

R ₂* i_c + U_c – U=0 =>

R ₂ *C*d U_c / d t + U_c – U=0

1. это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами .

2) Определим U_c (t) после коммутации:

U_c (t) = U_пр (t) + U_св (t)

так как после коммутации в установившемся режиме цепь замкнута и конденсатор может зарядиться до напряжение на постоянном источнике напряжения:

U_пр (t) = U

-6-

До коммутации цепь была разомкнута , поэтому 3) Определим U_св (t):

Найдём свободную составляющую тока U_св (t), решив однородное уравнение :

R ₂ *C*d U_c / d t + U_c = 0

2a)Решение будем искать в виде : U_св (t) = А*е^pt при t=0 , U_св (t) = А,

где p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

d U_c / d t = А*p*е^pt , U_св (t) = А*е^pt =>

R ₂ *C* А*p*е^pt + А*е^pt = 0

Отсюда: p = -1/( R ₂*C) τ = -1/p = R ₂*C

2Б) Найдём постоянную интегрирования a, для этого воспользуемся

вторым законом коммутации: U_c (-0) = U_c (+0)

U_c (-0) = 0

U_c (-0) = U_пр (+0) + U_св (+0) = U + A = 0 => А = -U

3) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

U_c (t) = U_пр (t) + U_св (t) = U – U e^-t/(C*R2)

4. Построим график функции U_c (t):

U_c (t) B.

U_пр (t)

U

U_c (-0)

0 U_св (t)

t c.

-7-

ЗАДАЧА 2.

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: U_c(t) – напряжение на конденсаторе, если конденсатор заряжен до U₀. ( классический метод)

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RС.

1. Найдём напряжение на конденсаторе до коммутации:

Так как конденсатор был заряжен до значение U₀, то :

U_c(-0) = U

2. Рассмотрим цепь после замыкания:

Запишем уравнение для данной цепи:

U_R2 + U_c = 0 =>

U_c + C*R₂* d U_c / d t = 0

U_пр = 0 так как после коммутации в установившемся режиме конденсатор разрядится до значения 0.

3. Найдём U_cв. :

3a)Решение будем искать в виде : U_св (t) = А*е^pt при t=0 , U_св (t) = А,

где p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

d U_cв / d t = А*p*е^pt , U_св (t) = А*е^pt =>

А*е^pt + C*R₂* А*p*е^pt = 0

Отсюда p = -1/(C*R₂)

-8-