Задача на метод Фостера.

10⁹_*p³ + 16_*10²¹_*p

Д

p⁴ + 37_*10¹²_*p² + 36 _*10²⁴

ана входная функцияZ_вх(p) реактивного двухполюсника Z_вх(p) =

1) Определить тип частотной характеристики.

2) Синтезировать двухполюсник в виде первой и второй канонических схем.

Решение: Находим корни p₂² и p₄² знаменателя:

p⁴ + 37_*10¹²_*p² + 36 _*10²⁴ = 0  p₂² = –10¹² , p₄² = –36 _*10¹²

П

10⁹_*p_* (p² + 16_*10¹²)

ерепишемZ_вх(p):

(p² + 1_*10¹²)(p² + 36 _*10¹²)

Z_вх(p) =

П

C₂

C₄

одставимp = jw и перейдём к обозначениям: w₂² = 1_*10¹², w₃² = 16_*10¹², w₄² = 36 _*10¹², получим:

10⁹_*j_*w_* (w₃² – w²)

(w₂² – w²)(w₄² – w²)

L₂

L₄

Z_вх(jw) = = j_*X_вх(w).

Рассмотрим выражение X_вх(w).

При w→0 имеем X_вх→0 за счет множителя w в числителе.

При w→∞ также получим X_вх→0, но уже за счёт более высокой степени знаменателя, т.е. характеристика X_в имеет два внешних нуля, что свойственно двухполюсникам типа 0–0. Кроме того, X_вх(w) имеет две точки параллельного резонанса при w = w₂ и w = w₄ и одну точку последовательного резонанса при w = w₃.

Следовательно, можно сделать вывод, что частотная характеристика соответствует двухполюснику 0–0 типа.

Для реализации двухполюсника в виде первой канонической схемы представим Z_вх(p) в виде

pA₂

pA₂

w₂² + p²

w₂² + p²

Z_вх(p) = + ,

откуда

1

w₂² + p²

С₂

p

A₂ = = lim_p²_{→– w2}² Z_вх(p) = (3/7)_*10⁹ Ф^-1  C₂ = (7/3) нФ

Поскольку w₂² = L_2*C₂, то L₂ = (w₂²_*C₂)^-1 = (3/7) мГн.

Аналогично находим другие параметры:

1

w₄² + p²

С₄

p

A₄ = = lim_p²_{→– w4}² Z_вх(p) = (4/7)_*10⁹ Ф^-1  С₄ = (7/4) нФ

L4 = (w₄²_*C₄)^-1 = (1/63) мГн

Для реализации второй канонической схемы представим Y_вх(p) в виде

A₀

pA₃

p

C₃

L₃

L₀

C_∞

w₃² + p²

Y_вх(p) = pA_∞ + +

Рассмотрим это выражение.

При p→0 имеем Y_вх→∞ за счет второго слагаемого – внешний полюс.

При p→∞ также получим внешний полюс(X_вх→∞), но уже за счёт второго слагаемого.

И третья особая точка p²= – w₃². Она является внутренним полюсом.

По ранее доказанному свойству, X_вх(w) – есть монотонно возрастающая

функция, следовательно, Y_вх(w) будет монотонно убывать, а значит между тремя полюсами входной

функции Y_вх(p) будут два нуля. Следовательно, мы получаем такой же вид частотной характеристики.

Н

Y_вх(p)

айдём постоянныеA:

p

A_∞ = С_∞ = lim_p→∞ = 1 нФ;

1

L₀

A₀ = =lim_p→0 pY_вх(p) = (9/4)_*10³ Гн^–1  L₀ = (4/9) мГн

1

w₃² + p²

L₃

p

A₃ = = lim_p²_{→– w3}² Y_вх(p) = (75/4)_*10³ Гн^–1

 L₃ = (4/75) мГн

С₃ = (w₃²_*L₄)^-1  С₃ = (75/64) нФ