Синтезом линейной электрической цепи называют определение структуры цепи и числовых значений составляющих её элементовR,L,Cпо известным операторным или временным характеристикам этой цепи при воздействии на вход напряжения определённой формы. Одному и тому же операторному выражению, принятому в качестве исходного при синтезе, может соответствовать несколько различных схем разной структуры.

Р

U₁(jw)

ассмотрим общие соображения о синтезе двухполюсников. В качестве входной величины возьмём напряжение на зажимах двухполюсникаU₁(jw),а в качестве выходной-ток на входеI₁(jw).Тогда

I₁(jw)

K(jw) = =Z(jw)

Таким образом, для двухполюсника в качестве передаточной функции можно выбрать входное сопротивление Z(jw)или обратную величину – входную проводимостьY(jw),

к

G(p)

a_0*pⁿ + a_1*p^{n -1} + … +a_n

оторые часто называютвходными функциями цепи. Входное операторное сопротивление двухполюсникаZ(p)представляется в виде рациональной дроби, т.е. отношения двух полиномов

H(p)

b_0*p^m + b_1*p^{m -1} + … +b_m

Z(p) = =

и обладают четырьмя важными свойствами.

1.При вещественных значенияхp(p=Re(p)=Re(s+jw)=s) функцииZ(p)иY(p)– вещественные, т.к. коэффициенты полиномовG(p)иH(p),т.е.a_kиb_k– вещественные.Действительно, коэффициенты a_k и b_k при определении Z(p) по сопротивлениям отдельных ветвей получаются суммированием, умножением или делением параметров ветвей, которые вещественны.

2.Синтез будем проводить для пассивных двухполюсников, у которых все нули и полюсы входных функцийZ(p)иY(p)расположены в левой полуплоскости комплексной переменнойpили на мнимой оси этой плоскости, причём в последнем случае все полюсы и нули простые.

Так если допустить, что на мнимой оси корень p = ±jw был бы, например, кратности m, то соответствующая ему свободная составляющая

Хсв = (C₀ + C₁* t + C₂* t² +…+ C_m-1* t ^{m -1})* ℮ ^jw

нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может в пассивном двухполюснике.

При сформулированных выше условиях оказывается, что все коэффициенты a_kиb_k полиномовG(p)иH(p)должны быть положительными.Убедиться в этом можно, представив, например, полином G(p) в следующем виде:

G (p) = a_0*pⁿ + a_1*p^{n -1} + … +a_n = a₀*(p-p₁)(p-p₂)…(p-p_n)

Для каждой пары комплексных и сопряжённых корней p_k = s_k + jw_k и p_k+1= s_k - w_k будем иметь:

(p-p_k)(p-p_k+1) = (p_k –s_k –jw_k)(p_k –s_k +jw_k) = (p_k –s_k)²+w_k²

для вещественных корней p_i будем иметь множителиp-p_i=p-s_i .Следовательно,приs_k≤0 иs_i≤0 все коэффициенты приpв множителях(p_k –s_k)²+w_k²полиномаG(p)неотрицательны, апоэтому все коэффициентыa₀,a₁,…,a_n будут положительными.

3. Вещественные части входных функцийZ(p) иY(p)положительны или равны нулю, т.е.ReZ(p)≥0илиReY(p)≥0, при условии, чтоRe(p)= Re(s+jw)=s≥0.

Д

1

1

1

окажем это свойство, т.е. чтоReZ(p)≥0, еслиs≥0 для чисто реактивной цепи. Например, дляLC– цепи имеем:

pC

(s + jw)C

sC + jwC

Z(p) = pL + = (s + jw)L + = sL + jwL +

r

L

c

Так для приведённой схемы:

1

g

g + jwC

Z (p) = r + jwL +

Очевидно, чтоReZ(jw)≥0 приr≥0 иg≥0. Таким образом, для любой чисто реактивной цепи,состоящей иLиCэлементов, может быть приp = s + jw построена аналогичная цепь, но уже содержащая элементыrиg. Так как для аналогичной цепи ReZ(jw)≥0, что ясно из физических соображений, то получаем, что и для исходной чисто реактивной цепиReZ(p)≥0 приs≥0.

4. СтепениnиmполиномовG(p)иH(p)не должны отличаться более чем на единицу.

Для доказательства утверждения допустим, что степень m больше степени n на два. Тогдаp→∞является нулём второй кратности дляZ(p), а то, что происходит приp→∞, можно считатьпроисходящим на мнимой оси плоскостиp(мнимая часть простирается в бесконечность). Но тогда на мнимой оси мы получим кратный корень, чего быть не может по условию 2.

Функции, обладающие первыми тремя указанными свойствами, относятся к положительным вещественным функциям.

Таким образом, для того, чтобы рациональная дробь была операторным выражением входных функций Z(p)илиY(p)и, следовательно, могла быть реализованной в виде электрической цепи, она должна быть положительной вещественной функцией и обладать четвёртым свойством.

Сказанное относится к любым пассивным двухполюсникам, содержащим не только реактивные, но и активные сопротивления.

В частном случае реактивных двухполюсников входные функции Z(p) и Y(p) – положительные, вещественные и обладают рядом дополнительных свойств.

1. Аналогично, степениn иmполиномов не должны различаться больше чем на единицу.

Но в данном частном случае, кроме того, степень pкаждого члена полинома на два меньше степени предыдущего.

Для доказательства утверждения выразим входной ток İ₁ реактивного двухполюсника через его входное напряжение Ủ₁=Ẻ₁, пользуясь методом контурных токов:

A_t1

A_tn

A_t2

A₁₁

Ẻ₁

Ẻ₁

D⁽ⁿ⁾

D⁽ⁿ⁾

D⁽ⁿ⁾

D⁽ⁿ⁾

Z₁₁

Z_вх

İ _t = Ẻ ₁ + Ẻ ₂ + … + Ẻ n  İ₁ = Ẻ ₁ = = ,

D⁽ⁿ⁾

A₁₁

Z₁₁= ,

где Z_вх = Z₁₁ – входное сопротивление двухполюсника; D – определитель цепи, состоящей из n контуров (и, следовательно, имеющий n строк и n столбцов), а A₁₁ – его алгебраическое дополнение.

В

1

j

1

каждом элементеD⁽ⁿ⁾ и A₁₁ содержатся (в случае реактивного двухполюсника) реактивные сопротивления вида

jwC_kk

w

C_kk

Z_kk=jX_kk=jwL_kk+ =(w²L_kk– )

и

j

1

w

C_kn

Z_kn = jX_kn = (w²L_kn – )

т.е. в каждом элементе определителя есть мнимый множитель (j/w) и вещественный.

Вынесем (j/w) из всех элементов определителей, получим:

D⁽ⁿ⁾

(j/w)ⁿ

D⁽ⁿ⁾₀

j

D⁽ⁿ⁾₀

Z

A₁₁

(j/w)^n-1

A₁₁₀

w

A₁₁₀

_вх =jX_вх= = = ,

1

D⁽ⁿ⁾₀

и

w

A₁₁₀

лиX_вх= ,

где D⁽ⁿ⁾₀ и A₁₁₀ – вещественные.

Элементы этих определителей имеют вид:w²L_kk– 1/C_kkиw²L_kk– 1/C_kn.

Раскрывая определители и группируя члены с одинаковыми степенями при w, получим:

X_вх = ,

откуда и следует утверждение.

Переписывая в операторной форме и вводя Z_вх(p), вместоX_вх(w) получаем:

G(p)

a_{0 *} p ²ⁿ + a_{2 *} p ^{2n - 2} + … + a_2n

Z

H(p)

p( b_{0 *} p ^{2n - 2} + b_{2 *} p ^{2n - 4} + … +b_{2n – 2})

_вх(p) = =(*)

Находя корни полиномов числителя и знаменателя относительно w² и обозначая их индексами, получим:

a₀

(w² + w₁²)(w² + w₃²)…(w² – w_2n-1²)

X

b₀

w(w² + w₂²)(w² + w₄²)…(w² – w_2n-2²)

_вх =(**)

А, полагая H= (a₀/b₀), получаем формулу, известную как теорема Фостера. При значенияхw², равных корням знаменателя, будем получать полюсы входной функцииX_вх(w) (аналогично резонансу токов в простейшей цепи), а при значенияхw², равных корням числителя,– нулиX_вх(w) (аналогично резонансу напряжений).

Переписывая в операторной форме и вводя Z_вх(p), вместоX_вх(w) получаем:

a₀

(p² + w₁²)(p² + w₃²)…(p² – w_2n-1²)

Z

b₀

p(p² + w₂²)(p² + w₄²)…(p² – w_2n-2²)

_вх(p) =

2. Для реактивных двухполюсниковX_вх(w) всегда возрастает с ростом частоты, т.е.

dw

>0

dX_вх(w)

откуда вытекает свойство чередования полюсов и нулей X_вх(w). Таким образом, для корней числителя и знаменателя имеем:

0<w₁<w₂<w₃<…<w_2n-2<w_2n-1

Для доказательства положения в общем случае предположим, что двухполюсник имеет n реактивных ветвей. Для любой i-ой ветви, содержащей индуктивность L_i и ёмкость C_i, имеем:

dX_i

1

dw

w²C_i

X_i=wL_i– 1/wC_iи =Li+ > 0

Но входное сопротивление двухполюсника зависит, конечно же, от сопротивлений всех ветвей. Поэтому

dX_вх(w)

∂X_вх(w)

dX_i

dw

∂X_i

dw

=

∂X_вх(w)

∂X_i

Осталось доказать, что > 0.

Пусть ко входу двухполюсника подключена Э.Д.С.

Выделим любую i-ю ветвь и, по теореме о компенсации заменим её сопротивление jX_i

э.д.с.Ẻi = –j*X_i*I_i . Теперь по принципу наложения определим токи:

I₁ = Y₁₁Ẻ_I + Y_1iẺ_i

I_i = Y_i1Ẻ_I + Y_iiẺ_i

Где все проводимости не зависят от

сопротивления–j*X_i

Подставляем Ẻi и исключаем из уравнения ток I_i

Получим:

I

jY_1iY_i1X_i

1 + jY_iiX_i

Ẻ₁

I₁

1 + jY_iiX_i

Y₁₁ + j(Y₁₁Y_ii – Y_1i²)X_i

₁ = (Y₁₁– )Ẻ₁откудаjX_вх= =

∂X_вх(w)

Y_1i²

и, следовательно,

∂X_i

[Y₁₁ + j(Y₁₁Y_ii – Y_1i²)X_i]²

=

так как рассматривается реактивный двухполюсник, то собственные и взаимные проводимости чисто мнимые, т.е. Y = – jb.

Подставляем и окончательно получаем:

∂X_вх(w)

b_1i²

∂X_i

[b₁₁ + j(b₁₁b_ii – b_1i²)X_i]²

= > 0

Теперь обратимся непосредственно к самим методам синтеза реактивных двухполюсников.

Синтез реактивных двухполюсников.

Существует несколько способов реализации двухполюсников по заданной Z(p), удовлетворяющей перечисленным условиям.

Метод Фостера.

Целый ряд схем могут иметь один и тот же вид частотной характеристики X_вх(w),

Поэтому обычно выбирают типовые схемы, к которым, прежде всего, относят так называемые канонические схемы, реализуемые по методу Фостера.

Различают два вида канонических схем реактивных двухполюсников.

1. Первая каноническая схема составляется

из последовательно включённых

LC-контуров, причём один или

два из них могут быть неполными,

как на рисунке:

2. Вторая каноническая схема составляется

из параллельно включённых

последовательных LC-контуров, и так же

один или два контура могут быть неполными

Д

jwL_{i *}

1

ля синтеза первой канонической схемызапишем комплексное сопротивлениеi-го контура схемы

jwC_i

jw

j(wL_i –

wC_i

1

)

C_i(w_i² – w²)

Z_i(jw) = = , гдеw_i= 1/√L_iC_i резонансная

частота i-го контура.

В операторной форме для Z(p) получаем:

pA_i

w_i² + p²

Z_i(p) = , гдеA_i= 1/C_i. – полюсыZ_iкомплексно–сопряжённые,

равны ± jw_i и лежат на мнимой оси.

Таким образом, для синтеза схемы нужно представить Z_вх(p) в виде суммы таких дробей, дополненных слагаемым jwL_∞ = pL_∞ = pA_∞, если в роли неполного контура выступает индуктивность L_∞, или же слагаемым (1/jwC₀) = (1/pC₀) = (A₀/p), если ёмкость C_0.

Итак, записываем функцию в виде

A₀

p

pA_i

w_i² + p²

Z_вх(p) =pA_∞+ + ∑ ,(***)

причём число слагаемых равно числу точек параллельного резонанса у частотной характеристики X_вх(w) или, что – то же самое, числу пар полюсов у сопротивления Z_вх(p),

не считая полюсов при w = 0 и w = ∞.

Первое слагаемое pA_∞ будет в формуле, если в выражении (*) для Z_вх(p) коэффициент a₀ отличен от нуля. В этом случае до разложения Z_вх(p) на простые дроби из него нужно выделить целую часть pA_∞. Второе слагаемое A₀/p будет присутствовать, если в знаменателе (*) можно вынести множитель p за скобки.

Если в схеме есть неполный контур с индуктивностью L_∞, то она будет обеспечивать условие X_вх→∞ при w→0 для характеристик типа ∞ – ∞ и ∞ – 0. Если в схеме есть неполный контур с ёмкостью C₀, то это обеспечит условие X_вх→ - ∞ при w→0 для характеристик типа ∞ – ∞ и ∞ – 0.

Значения же всех коэффициентов A находятся при помощи интегральных вычетов или непосредственно из полученных формул:

Z_вх(p)

p

A_∞=lim_p→∞;

w_i² + p²

p

A_i=lim_p²_{→– wi}²Z_вх(p);

A₀ = lim_p→0 pZ_вх(p)

Отсюда следует, что для определения A_i следует предварительно найти все корни знаменателя (*) относительно w², т.е. перейти от него к виду (**).

Для второй канонической схемы запишем комплексное сопротивление i-го контура:

j

w_i² – w²

wC_i

jw

Z_i(jw) =jwL_i– =L_i, гдеw_i= 1/√L_iC_i – резонансная

частота i-го контура.

Поскольку все ветви во второй канонической схеме соединены параллельно, то проще будет работать с входной проводимостью, нежели с сопротивлением.

pA_i

w_i² + p²

Y_i(p) = , гдеA_i= 1/L_i.

Как и для первой схемы, нули Z_i(p), а следовательно, полюса Y_i(p), - комплексно–сопряжённые, равны ± jw_i и лежат на мнимой оси.

Опять-таки, для синтеза схемы нам нужно разложить Y_вх(p) на дроби такого вида, как Y_i(p)

и дополнить полученное разложение слагаемым jwC_∞ = pC_∞ = pA_∞, если степень числителя Y_вх(p) на единицу больше степени его знаменателя, и дополнив разложение слагаемым (1/jwL₀) = (1/pL₀) = (A₀/p), если в знаменателе можно вынести множитель p за скобки.

Таким образом, формула для Y_вх(p) совпадает с формулой (***), а значения коэффициентов A находятся по таким же соотношениям.