8. Метод Бэка.

Рассмотрим систему, описываемую следующей передаточной функцией:

Введем переменную X(p) и запишем передаточную функцию в виде двух уравнений:

Y(p) = (28)

U(p) = ×X (p). (29)

Основной смысл метода Бэка состоит во введении переменных состояния , определяемых как:

j=0, 1, ...(n-1) (30)

Таким образом:

Можно записать: (31)

С учетом введенных обозначений перепишем уравнения (28) и (29) в виде:

Y(p) =(28.1)

(29.1)

Используя соотношение (30) , получаем:

p×X(32)

Применяя обратное преобразование Лапласа, можно записать (31) в виде:

....................

Уравнение (32) во временной области:

Уравнение для выходной переменной:

y(t)=

В матричной форме уравнение переменных состояния, записанное по методу Бэка имеет вид:

Таким образом, исходное уравнение приведено к требуемому виду:

[(t)]= [A] × [X (t)] + [B] × U(t).

Следует отметить, что при такой постановки задачи зависимость U(t) произвольная.

Существуют и другие методы формирования уравнений в пространстве состояний (например, метод Джонсона). Однако, полученное уравнение записано в КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ФАЗОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, широко используемой при анализе систем автоматического управления.

9. Примеры решения задач.

9.1. Для разветвленной цепи второго порядка составлены уравнения состояния:

;

при ненулевых начальных условиях ,и при единственном имеющемся в ней источнике ЭДС.

Найти переменные состояния и.

Р е ш е н и е . Перепишем уравнения состояния в матричной форме

где

; ;.

Найдем сначала первые свободные составляющие переменных состояния при нулевом входе. Для этого составим матрицу

Для нахождения присоединенной или взаимной матрицы заменим в предыдущей матрице каждый элемент его алгебраическим дополнением. Получим матрицу:

Транспонируем ее, найдя присоединенную или взаимную матрицу:

Найдем определитель матрицы

Обратная матрица будет равна:

Подвергнем ее обратному преобразованию Лапласа с учетом того, что для этого нужно подвергнуть обратному преобразованию Лапласа каждый ее элемент. Получим переходную матрицу состояния цепи:

Например,

и т. д.

Для переходной матрицы состояния системы получим:

Для первых свободных составляющих переменных состояния будем иметь:

т.е.

Далее найдем сумму принужденных и вторых свободных составляющих переменных состояния:

Суммируя полученные результаты, находим искомые значения переменных состояния:

9.2. Для данной цепи

при r=;С=1Ф, L=рассчитать токпри включении ее к источнику то-

ка i(t) при условии, что в момент включения (t=0) даны ток в индуктивностии напряжение на конденсаторе, что обеспечивается одновременной и мгновенной коммутацией всех трех рубильников цепи.

Р е ш е н и е. В качестве переменных состояния выбираем и, а выходной величинойyсчитаем ток в емкости.

На основании законов Кирхгофа составим уравнения состояния цепи и уравнение для выходной величины:

(33)

откуда

В матричной форме

Характеристическое уравнение цепи

или откуда.

Основная матрица цепи Аи матрица связиВравны:

Находим матрицы ФиФ:

;

Находим переходную матрицу состояний:

Находим матрицу переменных состояний:

.

Раскрывая полученные матрицы, находим:

(34)

(35)

На основании (33), (34) и (35) находим выходную величину:

(36)

Полученные результаты легко проверить непосредственно для установившегося режима, если источник тока i(t) – единичный, т.е.. Непосредственно из схемы следует, что при этих условиях ток единичного источника тока замкнется через индуктивность, т.е.; источник тока будет ею закорочен, т.е., и ток в конденсаторе будет равен 0, т.е..

По формулам (34), (35) и (36) получаем, выполняя интегрирование и полагая :

;;