6. Решение уравнений переменных состояния во временной области.

Пусть задана схема, описываемая уравнениями (1) и (2):

[] = [A]  [x] + [B]  [u];

[y]= [C]  [x] + [D]  [u];

cначальными условиями [x(0)] и входным вектором [u(t)] приt0.Требуется найти выходной вектор [y(t)] приt0.

Решение выходного уравнения при известных [u(t)] и [x(t)] не вызывает трудностей. Поэтому основное внимание будет уделено решению уравнения (1), которое представляет собой линейное матричное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Вначале рассмотрим решение скалярного уравнения первого порядка. После получения решения методом вариации постоянных и рассмотрение свойств матричных функций, результат будет обобщен на матричное дифференциальное уравнение.

= a ×x + b × u

Задано начальное условие [x(0)]. Требуется определить зависимостьx(t) приt0.Для отыскания решение воспользуемся методом вариации постоянных.

На основании принципа наложения решение уравнения (1) будет иметь вид:

(18)

Первое слагаемое описывает свободные процессы в системе, второе – принужденные и свободные при нулевом свободном состоянии.

Поясним переход от (1) к (18).

Решение неоднородного уравнения (1) можно получить в виде суммы полного решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Полное решение однородного уравнения

для, (19)

где - постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного дифференциального уравнения,, в виде

. (20)

Подставив (20) в (19), убедимся в справедливости решения однородного уравнения (19). Функцию обозначим, а. Так как

, то.

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в виде .

Общее решение

,

где R(t)нужно определить.

Подставим

(21)

в уравнение (1):

(22)

Поскольку есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (19), то первый член выражения (22) – нулевая матрица. Следовательно,

(23)

Проинтегрируем (23) от доt:

(24)

Из уравнений (21) и(24) следует

(25)

но . Умножая (25) слева наи учитывая, что

,

получим

(26)

Полагая в (26) и заменяя затем переменнуюна, получим формулу (18).

Из (2) и (18) находим

(27)

7. Решение уравнений переменных состояния в частной области.

Запишем уравнения в пространстве состояний в матричной форме:

[(t)] = [A] × [x (t)] + [B] × [u (t)]

[y (t)] = [C] × [x (t)] + [D] × [u (t)]

Применим к первому уравнению прямой преобразование Лапласа:

p × [X] - [X(0)] = [A] × [X] + [B] × [U]

[X(p)] и [U(p)] - изображение по Лапласу [x(t)], и тогда

[X] = (p × [1] - [A]) × ([B] × [U] + [X(0)],

где (p × [1] - [A])=

Полученное уравнение может быть использовано для вычисления [x(t)] с помощью обратного преобразования Лапласа:

[x(t)] = L{(p × [1] - [A] ) ×{[B] × [U] + [X(0)]}} .

Рассмотрим решение в частной области при нулевых начальных условиях:

[X] = (p × [1] - [A]) × [B] × [U];

[Y] = [C] × [X] + [D] × [U];

[Y(p)] - изображение по Лапласу [y(t)].

[Y] =[C] × {(p × [1] - [A]) × [B] × [U]} + [D] × [U]

Поскольку отношение [Y(p)] / [U(p)] представляет собой передаточную функцию, решение уравнений МПС в частной области позволяет определить [H(p)] через матричные коэффициенты уравнений, записанных в пространстве состояний.

[H]= [C] × {(p × [1] - [A]) × [B] × [U]} + [D].

Основная сложность при определении передаточной функции состоит в вычислении обратной матрицы. В числе - матрица алгебраических дополнений, которая представляет собой матричные коэффициенты, умноженные на оператор Лапласа в соответствующей степени. Существует ряд рекуррентных алгоритмов (например: Суриана-Фрейма), позволяющих вычислять матричные коэффициенты числителя и скалярные коэффициенты знаменателя. После чего, в соответствии с полученным выражением передаточную функцию можно представить в виде дробно рациональной функции, в числе которой будут находиться матричные коэффициенты, а в знаменателе - скалярные.

Рассмотрим знаменатель обратной матрицы. Уравнение вида:

det (p × [1] - [A] ) =(p-p) × (p-p) ×...× (p-p) =0;

является ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ, а его корниp, p,...,p- называютсяСОБСТВЕННЫМИ ЧАСТОТАМИсистемы. В линейной алгебре эти корни называются собственными значениями матрицы [A] . Для их вычисления также известен ряд алгоритмов, наиболее эффективным являетсяQRалгоритм.

Как только найдены собственные частоты, так (с точностью до постоянного множителя) становится известным знаменатель передаточной функции. В зависимости от того, сокращаются ли взаимно некоторые сомножители числителя и знаменателя, собственные частоты могут быть, а могут и не быть полюсами передаточной функции.

Желательно свести задачу нахождения нулей передаточной функции к задаче вычисления собственных значений некоторой матрицы.

Для этого воспользуемся известными результатами для систем с ОС. Рассмотрим исходную систему с одним входом и одним выходом. Сформируем новую систему.

H(p) =U(p) /Y(p) - передаточная функция исходной системы.

Передаточная функция системы с ОС имеет вид:

Если рассмотрим предел при k , то полюсабудут являться нулямиH(p). Следовательно, для определения нулей передаточной функции исходной системы необходимо сформировать основную матрицу обратной системы, после чего с помощьюQRалгоритма найти ее собственные значения.

Запишем систему уравнений по МПС для исходной системы:

[] = [A] × [x] + [b] × U;

Y = [c] × [x] + d × U.

Матрицы [b] и [c], как и ранее являются вектором-столбцом и вектором-строкой, соответственно, аd- скалярная величина.

Из рисунка второго уравнения:

.

Откуда:

U=.

Подставляя в первое уравнение исходной системы:

[] = ([A] -× [b] × [c]) × [x] + × [b] × .

При формировании основной матрицы обратной системы могут возникнуть два случая (в зависимости от значения d). В первом (d0) при kполучаем:

[[A] - [b] × [c] / d.

Второй случай (d=0) более сложен, поскольку приходится вычислять придел при

k выражение вида:

[] = ([A] - k × [b] × [c]) × [x]

Однако, известны алгоритмы, позволяющие вычислять основную матрицу и в данном случае.

Таким образом, использование теории ОС позволяет не только анализировать характеристики замкнутых систем, но также оказывается полезным при вычислении характеристик разомкнутых систем.

Как было показано, решение уравнений МПС в частной области позволяет эффективно определить передаточную функцию линейной системы.

Возможно решение обратной задачи: для известной передаточной функции линейной системы можно определить систему уравнений по МПС. В общем случае задача решается неоднозначно. Для ее решения известен ряд алгоритмов, которые позволяют получить уравнения МПС в различной форме (различный вид матричных коэффициентов).