3. Степень сложности и начальные условия.

Для любой схемы с сосредоточенными параметрами справедливы 1 и 2 законы Кирхгофа, а также существует соотношение между током и напряжением для каждого из элементов. Если с их помощью удается получить систему линейно независимых дифференциальных уравнений первого порядка.

где [x] - набор изnнезависимых вспомогательных переменных, то говорят, что для данной схемы существуетУРАВНЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

n- определяетСТЕПЕНЬ СЛОЖНОСТИсхемы.

Состояние схемы определяется минимальным набором элементов.

Набор переменных называется ПЕРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЯсхемы, если для него выполняются условия:

1. Состояние схемы в любой момент времени tи входные действия приtоднозначно определяют состояние схемы при любомt> t.

2. Переменные состояния совместно с входными воздействиями однозначно определяют значения любых переменных в схеме в любой момент времени.

Общее решение (1) должно содержать nнезависимых постоянных интегрирования, которые определяются с помощьюn НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ. Обычно в качестве начальных условий берутся значения переменных в момент времениt=0. При этом степень сложности схемы равна числуНЕЗАВИСИМЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ, которые обязательно задаются в виде электрических величин, обеспечивающих получение полного решения [x(t)] и [y (t)].

Определяющими величинами для линейных схем (на основании начальных значений которых можно получить решение для всех токов и напряжений в схеме) являются напряжения (заряды) на конденсаторах и токи (потокосцепления) в катушках индуктивности.

Напряжения на катушках индуктивности и токи через конденсаторы не всегда обеспечивают требуемый результат. Например, при известном токе через конденсатор для расчета напряжения на нем необходимо знать не начальный ток, а начальное напряжение.

Поэтому, помимо указанных условий, переменные состояния выбирают таким образом, чтобы их начальные условия позволяли бы решать систему (1).

4. Определение порядка системы уравнений по мпс.

Число уравнений в системе равно числу независимых напряжений на емкостях и токов, протекающих через индуктивности.

Зависимость между напряжениями и токами может возникнуть в следующих случаях:

1. СЕ- контур, образованный емкостями и независимыми источниками ЭДС.

2. LJ- сечения, образованные индуктивностями и независимыми источниками тока.

СТЕПЕНЬ СЛОЖНОСТИ RLC цепей: n =, где

b- полное число конденсаторов и индуктивностей.

n- число независимыхСЕконтуров.

n_L- число независимыхLJсечений.

Две задачи: формирование уравнений в пространстве состояний и их решение.

5. Формирование уравнений в пространстве.

Подобно уравнениям, составленным по МКТ, МУП и т.д., уравнения состояния представляют собой преобразованные к определенному виду уравнения цепи.

Задача состоит в том, чтобы получить уравнения (1) и (2). При получении (1) требуется выразить производные от переменных состояния через сами переменные состояния. Поскольку производные по времени от переменных состояния (токи через индуктивности и напряжения на конденсаторах) можно связать с напряжениями на индуктивностях и токами через конденсатор, задача состоит в определении связи между токами через конденсаторы и напряжениями на них, а также на индуктивностях и их токами.

5.1. Составление дифференциальных уравнений.Сначала получим систему дифференциальных уравнений, соответствующую первому матричному уравнению метода, а затем запишем ее в матричной форме. Алгоритм составления этих уравнений для любой электрической цепи следующий. Сначала записываются уравнения по законам Кирхгофа или по методу контурных токов; затем выбираются переменные состояния и путем дифференцирования исходных уравнений и исключения других переменных получаются уравнения метода переменных состояния. Этот алгоритм очень напоминает применяемый в классическом методе расчета переходных процессов для получения одного результирующего дифференциального уравнения относительно одного из переменных.

В частных случаях, когда в цепи нет емкостных контуров, т.е. контуров, все ветви которых содержат емкости, и нет узлов с присоединенными ветвями, в каждой из которых включены индуктивности, может быть указан и другой алгоритм. Не останавливаясь на нем, отметим лишь, что он основан на замене емкостей источниками ЭДС, индуктивностей – источниками тока и применении метода наложения.

Рассмотрим такой подход к получению уравнений на следующем примере:

R= 1K; R= 3K; R= 2K; L = 50 мГн; C = 0.01 мкФ

Запишем соотношения между токами и напряжением на реактивных элементах:

; (3)

Запишем первый закон Кирхгофа для узла:

(4)

Причем: ;(5)

Подставим (3) и (5) в (4):

(6)

(7)

(6) и (7) приводим к форме Коши:

(8)

Выходное уравнение: U(9)

Из (8) и (9) можно записать матричные коэффициенты уравнения в пространстве состояний.

[x] = [u] = [U]; [y] = [U];

[A] = ; [C] = [0 1]; [D] = [0];

[B] =

Недостатки:

1. Сложно для схем второго порядка.

2. Наличие взаимных индуктивностей и зависимых источников усложнит процесс получения.

3. Плохо алгоритмизуем, практически невозможно переложить на ЭВМ. При ручных расчетах высока вероятность ошибок.

5.2.Сведение задачи к расчету цепи по постоянному току.Рассмотрим общий случай для схемы инвариантной относительно времени (m- число входных переменных;n- число переменных состояния;p- число входных переменных).

Перепишем исходные уравнения:

[]= [A] [x] + [B]  [u]

[y] = [C]  [x] + [D]  [u] + ([D]  [] +...)

Если в выходном уравнении отсутствуют [[D] [(t)] + ...], такая система называетсяПРАВИЛЬНОЙ. В дальнейшем будем рассматривать исключительно правильные системы.

В качестве переменных состояния выбраны напряжения на конденсаторах и токи через индуктивности:

В более компактном виде можно записать:

[P] = [Q] [z] (10)

где [P] =[Q] =[z] =;

Размерности: [P] - вектор [n+p];

[z] - вектор [m+n];

[Q] - вектор [n+p]; строк и [m+n] столбцов.

Отметим, что матрицы и векторы (10) получены из (1) и (2) простой перенумерацией элементов. Значения элементов остаются неизменными.

Очевидно, что элементы [Q] могут быть определены следующим образом:

q (i,l) = p(i), если z(k) = k=1,..(n+m)

Это означает, что l-й столбец [Q] равен вектору [P], полученному при решении цепи, когдаk-й элемент [z] единичным источником, а все остальные члены [z] приравнены к нулю. Данное решение может быть получено для эквивалентной схемы, составленной по следующим правилам:

1. Конденсаторы заменяются короткими замыканиями.

2. Индуктивности заменяются разрывами ветви.

3. Источники ЭДС заменяются короткими замыканиями.

4. Источники тока заменяются разрывами ветви.

5. Выбранный (k-й) элемент заменяется единичным источником (1В- для источников ЭДС и конденсаторов и1А- для источников тока и индуктивностей).

6. Повторение процедуры до тех пор, когда kне превысит (n+m).

7. В результате вычислений получим токи через все конденсаторы и направление на все индуктивности. Формируем вектор [P’].

8. Переходим от токов через конденсаторы и напряжений на индуктивностях к исходным переменным состояния.

Для выполнения п.8 рассмотрим связь между напряжениями и токами на реактивных элементах.

Производные по времени от [x] можно связать токами через конденсатор и напряжениями на индуктивности.

k = 1, ... K

Или в матричной форме: [I] = [C](11)

[I] - вектор токов через конденсаторы размерностью [K x 1];

[U] - вектор напряжений на конденсаторах размерностью [K x 1];

[C] - [K x K] диагональная матрица, чьи элементы определяются соотношениемC(i , j) =(i , j) *C(j).

Переходя к производным:

(12)

[S] = [C]-диагональная матрица с положительными членами.

Пусть схема содержит Pиндуктивностей, которые могут быть связными. Напряжение наj-й индуктивности представляет собой сумму, один из членов которой обусловлен протеканием тока черезj-й индуктивность, другие - токами через индуктивности, связанными сj-й:

U(13)

В матричной форме: [U] = [L](14)

[ U] - вектор напряжений на индуктивностях размерностью [P x 1];

[ I] - вектор токов через индуктивности размерностью [P x 1];

[L] - [P x P] матрица, диагональные элементы которой являются собственными, а недиагональные члены - взаимными индуктивностями. Члены [L] могут иметь как “+”, так и “-” знаки.

Решаем (14) относительно производных:

(15)

Объединяя (12) и (15) , получим:

[]= (16)

[R] - квадратная матрица размерностью[(P+K) x (P+K)]. Матрица имеет более простой вид, если вектор [x] упорядочен, т.е. конденсаторы и индуктивности объединены в группы. В отсутствии взаимных индуктивностей в матрица [H], а, следовательно, и [R], представляет собой диагональные матрицы. Если вектор [x] упорядочен, то на главной диагонали [H] вначале будут находиться члены, обратные емкостям, далее - члены, обратные индуктивностям. Возможен и обратный порядок следования членов. При наличии взаимных индуктивностей, матрицу [H] необходимо вычислять обращением матрицы [L]. В данном случае упорядочивание вектора [x] значительно упростит вид [H].

Используя соотношение (16), можно осуществить переход от вектора к вектору [P’] к вектору [P]. При этом следует отметить, что переход необходимо выполнить не для полного вектора [P], а для его первыхn(n=P+K) членов.

Тогда:

[P]=[R][P’] (17)

Очевидно, что при выполнении описанной процедуры следует оперировать с численными значениями элементов матриц.

Проиллюстрируем алгоритм на примере схемы, рассмотренной ранее.

Вектор переменных состояния как и ранее: [x] = [iU

u=U; y=U;

формируем вектор [P] =[

[P

Для получения первого столбца [Q] воспользуемсяz(k)=(k , j) приj=1.

Для определения вектора [P1] эквивалентная схема будет иметь следующий вид:

U= -545 B; i.

Выходное напряжение U=0.Следовательно:

[P]=

Аналогично для j=2, 3;

[P] =; [P] =

[Q] =

Метод применим для схем, содержащие зависимые источники. Никаких преобразований зависимых источников не производиться.

Недостатки:

1. При построении программ на основании данного алгоритма конденсатор заменяется на малое сопротивление (0.01 Ом), а индуктивность - на большое (10 Ом). Источник погрешности.

2. Дополнительный источник численной погрешности - инвертирование матриц [C] и [L].

Алгоритмы формирования уравнений по МПС, обеспечивающие меньшие численные погрешности, основаны но формировании дерева при правильном или неправильном размещении и используют, как правило, матрицу инциденций.( Л.О. Чуа, Пен-Мин-Лин. Машинный анализ электронных схем. - М.: Энергия, 1980).

5.3.Формирование уравнения в пространстве состоянийна основании дифференциального уравненияn-го порядка.

[]=[A]×[x] + [B]×[x]Метод Бэка.

Пусть имеем:

Введем обозначения:

x= x; ; ; …;

Тогда исходное уравнение может быть представлено в виде:

или в матричной форме:

[] = [A]  [x] + [B]  [u]