2. Метод переменных состояния.

Метод переменных состояния (называемый иначе методом пространственных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной форме). Применительно к электрическим цепям под переменными состояниями понимают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т.е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные состояния в обобщенном смысле назовем х.Так как это некоторые функции времени, то их можно обозначитьx(t).

Метод переменных состояния основывается на двух уравнениях, записываемых в матричной форме.

Структура первого уравнения определяется тем, что оно связывает матрицу первых производных по времени переменных состояния x(t)с матрицами самих переменных состоянийxи внешних воздействийu, в качестве которых рассматриваются ЭДС и токи источников.

Второе уравнение по своей структуре является алгебраическим и связывает матрицу выходных величин yс матрицами переменных состоянияxи внешних воздействийu.

Определяя переменные состояния, отметим следующие их свойства:

1. В качестве переменных состояния в электрических цепях следует выбрать токи в индуктивностях и напряженияна емкостях, причем не во всех индуктивностях и не на всех емкостях, а только для независимых, т.е. таких, которые определяют общий порядок системы дифференциальных уравнений цепи.

2. Дифференциальные уравнения цепи относительно переменных состояния записываются в канонической форме, т.е. представляются решенными относительно первых производных переменных состояния по времени.

Отметим, что только при выборе в качестве переменных состояния токов в независимых индуктивностях и напряженийна независимых емкостях первое уравнение метода переменных состояния будет иметь указанную выше структуру.

Если в качестве переменных состояния выбрать токи в ветвях с емкостями или токив ветвях с сопротивлениями, а также напряженияна индуктивностях или напряженияна сопротивлениях, то первое уравнение метода переменных состояния также можно представить в канонической форме, т.е. решенным относительно первых производных по времени этих величин. Однако, структура их правых частей не будет соответствовать данному выше определению, так как в них будет еще входить матрица первых производных от внешних воздействийu.

3. Число переменных состояния равно порядку системы дифференциальных уравнений исследуемой электрической цепи.

4. Выбор в качестве переменных состояния токов и напряженийудобен еще и потому, что именно эти величины согласно законам коммутации в момент коммутации не изменяются скачком, т.е. одинаковы для моментов времениt=0+ и t=0-.

5. Переменные состояния ипотому так и называются, что в каждый момент времени задают энергетическое состояние электрической цепи, так как последнее определяется суммой выраженийи.

6. Представление уравнений в канонической форме очень удобно при их решении на аналоговых вычислительных машинах и для программирования при их решении на цифровых вычислительных машинах. Поэтому такое представление имеет очень важное значение при решении этих уравнений с помощью средств современной вычислительной техники.

Пусть в системе nпеременных состояния,m выходных величин иристочников воздействия. Тогда матрицу-столбец переменных состояния вn-мерном пространстве состояний, матрицу-столбец выходных величин, матрицу столбец источников воздействий обозначим соответственно

,,

Для электрических цепей можно составить матричные уравнения вида:

(1)

(2)

где [A], [B], [C], [D] – некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров. Причем [A] - всегда квадратная матрица порядкаn.

(1) - система nдифференциальных уравнений первого порядка (в общем случае взаимосвязанных), называемаяУРАВНЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯв нормальной форме. Вспомогательные переменныех, х...х-ПЕРЕМЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ, а [x] - вектор переменных состояния.

(2) - выходное уравнение.

Преимущества:

1. Решение таких систем широко известно в математике как в численном, так и в аналитическом виде.

2. Уравнения легко решаются на ЭВМ.

3. Как правило, число уравнений в системе (1) оказывается меньше, чем число уравнений, составленных МУП.

4. Метод может быть обобщен для решения нелинейных систем.