ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ЗАДАНИЯ

1. Графическая иллюстрация численного интегрирования.

Выполнить m-файл demosimp, который демонстрирует интегрирование с помощью квадратурной формулы Симпсона (формулы парабол) для трех функций: , , . Какова ошибка вычисления интеграла для функции ?

Файл demotrap иллюстрирует применение квадратурной формулы трапеций для тех же функций и частичных отрезков.

Подобно функции , , определенных в файлах xemx.m, f8x3.m, f16x4.m, следует определять собственную функцию по варианту задания.

2. Формула Симпсона.

Изучить функцию quadsimp, разобраться в том, как данная программа выполняет приближенное вычисление интеграла.

function [I,h] = quadsimp(func,a,b,N)

% Вычисление интеграла с помощью квадратурной формулы Симпсона.

% [I,h] = quadsimp(func,a,b,N)

% func - строковая переменная (имя функции), например, 'sin';

% [a,b] - отрезок интегрирования;

% N - число частичных отрезков, на которые разбивается [a,b];

% I - приближенное значение интеграла;

% h - половина длины частичного отрезка, равная (b-a)/2N.

h = (b-a)/(2*N);

sum1 = 0;

sum2 = 0;

for i=1:(N-1),

sum1 = sum1+feval(func,a+h*(2*i-1));

sum2 = sum2+feval(func,a+h*2*i);

end;

sum1 = sum1+feval(func,a+h*(2*N-1));

I = (feval(func,a)+feval(func,b)+4*sum1+2*sum2)*h/3;

С помощью функции quadsimp вычислить интеграл от на отрезке [a,b] для некоторого числа частичных отрезков N (например, для 5), а также для числа 2N. Сравнить полученные ошибки с теоретическими оценками ошибок интегрирования. Для многочленов какой степени формула Симпсона является точной? Выписать в тетрадь значения шага h, полученной погрешности, теоретической оценки.

Замечание: вычислять интеграл можно также с помощью функции plotsimp, которая имеет такие же входные параметры, что и quadsimp, но дополнительно строит график.

3. Формула прямоугольников и формула трапеций.

Создать в виде m-файлов две собственные функции численного интегрирования, одна из которых использует квадратурную формулу прямоугольников, а другая – формулу трапеций. Параметры вызова функций - такие же, как у quadsimp.

С помощью полученных m-файлов вычислить определенный интеграл для функции на отрезке [a,b] с теми же значениями шага разбиения отрезка интегрирования, что и в предыдущем задании. Сравнить полученную погрешность с теоретической оценкой. Выписать значения шага, полученной погрешности, теоретической оценки в тетрадь.

Для многочленов какой степени точна формула прямоугольников? Формула трапеций? Всегда ли формула парабол оказывается точнее формул прямоугольников и трапеций?

4. Вычисление интеграла с заданной точностью.

Вызвать демонстрацию примера численного интегрирования с заданной точностью (встроенная процедура quaddemo). В примере вычисление интеграла производится встроенной функцией quad. При помощи функции quad вычислить определенный интеграл для на отрезке [a,b] с различной точностью.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. , a = 0, b = 1.

2. , a = 1, b = 2.

3. , a = -1, b =1.

4. , a = 0, b = .

5. , a = 0, b = .

ПРИЛОЖЕНИЕ. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Квадратурная формула прямоугольников с остаточным членом при условии :

, где , .

Квадратурная формула трапеций с остаточным членом при условии :

, где , .

Квадратурная формула Симпсона с остаточным членом при условии :

, где , .

Везде в формулах .