Вопросы к экзамену по курсу “Методы прикладной математики”
Раздел 1. Численные методы.
-
Выполнение вычислений в командной строке MATLAB и с помощью m-файлов. Привести примеры.
-
Использование “m-файлов” функций в MATLAB. Привести примеры.
-
Задача интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
-
Оценка погрешности интерполяции многочленом Лагранжа в точке и на всем отрезке интерполяции.
-
Численное интегрирование. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
-
Использование процедуры “quad” в MATLAB для вычисления интегралов. Привести примеры.
-
Метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старшей производной.
-
Применение процедур “ode23” и “ode45” в MATLAB.
-
Собственные векторы и собственные значения матриц. Процедура “eig” в MATLAB.
-
Свойства собственных значений для симметрических положительно определенных матриц.
-
Понятие нормы матрицы. Число обусловленности матрицы.
-
Оценки погрешности в решении системы линейных алгебраических уравнений в зависимости от числа обусловленности матрицы.
-
Пример влияния погрешности в правой части системы линейных уравнений с плохо обусловленной матрицей на решение.
-
Алгоритм Гаусса решения систем линейных уравнений.
-
Модификация алгоритма Гаусса - алгоритм Гаусса-Жордана. Дополнительные возможности вычислений для матриц.
-
Итерационные методы решений уравнений. Принцип сжатых отображений.
-
Итерационные методы Якоби и Зайделя для решения систем линейных уравнений. Достаточные условия сходимости.
-
SVD разложение матрицы.
-
Переопределенные системы уравнений. Понятие нормального псевдорешения.
-
Решение переопределенных систем уравнений. Метод наименьших квадратов.
Раздел 2. Теория вероятностей.
-
Понятие статистической устойчивости эксперимента. Статистическое определение вероятности.
-
Основное правило комбинаторики. Выборки из конечного множества. Размещения, перестановки и сочетания.
-
Классическое определение вероятности. Примеры, парадокс Де Мере.
-
Геометрическое определение вероятности. Задача Бюффона. Парадокс Бертрана.
-
Пространство элементарных исходов опыта. Понятие случайного события. Операции над событиями.
-
Аксиомы Колмогорова. Следствия из аксиом. Теорема сложения.
-
Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий.
-
Полная группа событий. Формула поной вероятности.
-
Формула Байеса пересчета гипотез.
-
Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
-
Испытания по схеме Бернулли. Биномиальный закон распределения.
-
Закон распределения Пуассона.
-
Теорема Пуассона. Связь между биномиальным и пуассоновским распределениями.
-
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения.
-
Случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [a,b].
-
Стандартизованная нормальная случайная величина. Функция Лапласа и ее свойства.
-
Нормальный закон распределения с параметрами «м» и «сигма». Правило “трех сигм”.
-
Показательное распределение.
-
Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты.
-
Математическое ожидание и его свойства.
-
Дисперсия и ее свойства.
-
Математическое ожидание биномиального распределения.
-
Математическое ожидание распределения Пуассона.
-
Дисперсия биномиального распределения.
-
Дисперсия распределения Пуассона.
-
Математическое ожидание и дисперсия равномерного распределения.
-
Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.
-
Дискретные случайные векторы, их описание.
-
Непрерывные случайные векторы, их описание.
-
Числовые характеристики случайных векторов.
-
Коэффициент корреляции и его свойства.
-
Функции случайных величин.
-
Распределение квадрата стандартизованной нормальной случайной величины.
-
Неравенство Чебышева.
-
Сходимость по вероятности.
-
Закон больших чисел и теорема Бернулли.
-
Центральная предельная теорема.
-
Следствия из центральной предельной теоремы.