Лабы / Лабы 2 / OLD / LAB_07

Лабораторная работа N 7

Тема: Действия с матрицами. Решение систем методом Гаусса.

Вести дневник работы, по завершении показать его преподавателю.

1. Ввести матрицу A размерности 3x3, полагая A(i,j)=(i+j-1)^2 (с помощью цикла
в командной строке). Убедиться, что матрица симметрическая. Найти ее ранг.
2. Для матрицы А найти собственные векторы и собственные значения (процедура eig).
В коммандной строке проверить, что полученные в этой процедуре векторы являются
собствеными. Более того, что собственные векторы взаимно ортогональны и длины единица.
Убедиться в том, что собственные значения вещественны.
3. Записать матрицу перехода Q от "старого" базиса к "новому" базису из собственных
векторов матрицы А. Единственно ли решение этой задачи? Убедиться в том, что матрица
Q ортогональна.
4. Проверить, что в базисе из собственных векторов матрица А диагональна (формула преобра-
зования матрицы А в новом базисе: Q'*A*Q). Что находиться на главной диагонали?
5. Найти координаты в "старом" базисе вектора a, координаты которого в
ортонормированном базисе из собственных векторов = [1 2 3]. Сформулировать и
решить обратную задачу. Как воспользоваться при этом матрицей Q?
6. Найти обратную матрицу для матрицы А. Найти нормы прямой и обратной матриц.
Найти число обусловленности матрицы А с помощью определения и евклидовой нормы.
Проверить свой ответ с помощью процедуры cond(A).

Решить систему уравнений Ax=b, b=[36; 70; 116] методом Гаусса.

7. Составить расширенную матрицу Ab этой системы. Не изменяя 1-ой строки
матрицы A, линейными преобразованиями строк получить матрицу AAb с нулем на
месте элемента (2,1), затем AAAb с нулем на месте элемента
(3,1). Составить матрицу М1 (размера 3x3) с единицами на главной диагонали,
в первом столбце расположите множители, с помощью которых Вами получены
нули в первом столбце матриц AAb и AAAb. Остальные элементы М1 - нули.
Убедитесь, что произведение М1*А дает матрицу AAAb (Вывод (!!!): всякое элементарное
преобразование строк описывается умножением с некоторой матрицей!).
8. Составить матрицу М2, позволяющую получить нуль на месте элемента (3,2)
матрицы A.
В матричной форме результат пп. 9 и 10 можно записать AAAAb=M2*M1*Ab.
Проанализируйте полученный результат. Решите систему.
9. Решить методом Гаусса примеры систем линейных уравнений (2х2) из лекций
(используя процедуру округления). Найти число обусловленности для этих матриц.
12. Смоделировать задачу лекции от 25.11.99 с плохо обусловленной матрицей размера
10х10, затем 20х20. Найти сначала точное решение, затем внести погрешность 0.001
в последнюю координату вектора правой части и снова решить задачу.

Указание: матрицу А и вектор b можно получить с помощью м-файла процедуры, задавая
n в командной строке:

for i=1:n
for j=1:n
if i==j, a(i,j)=1;
elseif i>j, a(i,j)=0;
else a(i,j)=-1;
end
end
end

b=-ones(n,1);b(n)=1;