ЧМ (МП-3) / Лабы / Лабы 2003, Земсков / lab5_2000

Решение плохо обусловленных систем линейных уравнений.

1. Познакомиться с командами input, eye, diag, norm, det , cond, pinv, nnls, “ \ ”.

2. Создать собственный m-файл, реализующий следующую последовательность действий 2.1. По введенным с клавиатуры числам n и ep сформировать матрицу размерности n*n со следующей структурой: и вектор-столбец правой части , т.е. . Тем самым будет задана система ЛАУ . (*) 2.2. Вычислить det(A), cond(A), (см. help inv, help \ ), epsilon= (см. help norm). Дальнейшие действия выполняются с помощью полученного m-файла.

3. Убедиться, что при ep=1: detA=1 (для любого n), а точным решением системы (*) является вектор .

4. Проверить, что при : (при нечетных n) и (при четных n).

5. Последовательно уменьшая величину ep (например, делением пополам, начальное значение ep=1) для фиксированного значения n, например, n=20, вычислить det(A), cond(A), , epsilon=. Обратите внимание на то, что при малых значениях ep система становится «плохо обусловленной», о чем свидетельствует большое значение числа обусловленности, определяемого командой cond(A).

6. Меняя произвольно пару параметров (ep,n), исследовать зависимость ошибки epsilon= от (ep,n). Результаты свести в таблицу.

7. При малых значениях ep и больших n (n=20..40) найти решение системы (*) в среднеквадратичной норме (help nnls), решение с помощью псевдоинверсии (help pinv). Сравнить с решением, полученным при помощи обычной инверсии (help inv).

8. Деформировать матрицу A, отбросив последнюю строку. При этом матрица становится прямоугольной, система – недоопределенной, а её решение в обычном смысле – не существует. Однако по-прежнему существует решение в среднеквадратичной норме, которое можно найти командой nnls или \. Найдите это решение.

9. Составить протокол, который должен содержать результаты выполнения пунктов 5-8, отчитаться преподавателю.