ЧМ (МП-3) / Лекции / Лекции / Лекци13

70

Лекция 13.

4.3. Численные методы решения краевых задач для ОДУ.

4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.

Постановка краевой задачи для ОДУ второго порядка:

(1)

Задача называется краевой, так как заданы два краевых условия.

Отличие от задачи Коши:

в задаче Коши все дополнительные условия даются в одной точке, в краевой задаче - в разных точках. Иногда можно привести краевую задачу к типу задач Коши. Встает проблема: как использовать граничное условие на правом конце?

Пусть дана сетка - шаг сетки.

Аппроксимируем на сетке производные с порядком :

;

Подставив данные соотношения в (1) получим:

.

Умножим все на , тогда получим следующую запись системы:

, где

(2)

и симметричны относительно 1.

Надо с той же точностью аппроксимировать граничные условия:

первого рода :

второго рода :

третьего рода :

Аппроксимация граничных условий:

1. на левом конце отрезка:

Выражаем :

А из уравнения (1):

.

После подстановки и приведения подобных слагаемых, получаем:

2. аналогично поступаем с краевым условием на правом конце отрезка. В итоге получаем неявную схему

(2’)

Таким образом, получили трех диагональную систему, которая решается прогонкой.

4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.

Рассмотрим снова краевую задачу для ОДУ 2-го порядка (1).

Удобно представить оператор таким образом, чтобы он включал в себя краевые условия:

(3)

 задача (3) запишется в виде

(3’)

Определение1.

Говорят, что задача (3) аппроксимирована на сетке с порядком , если

, (4)

где - точное решение на сетке,

-сеточное решение задачи (3),

- сеточная норма.

Заметим, что по определению сеточное решение .

С другой стороны,

, т.к. при подстановке точного решения в левую часть сеточного уравнения системы (3), получим несколько иную сеточную правую часть. Поэтому, обозначив - “невязка”, из (4) 

- по условию аппроксимация порядка p.

Итак

(5)

Определение2.

Пусть - невозмущенная задача на сетке, (6)

- возмущенная задача, причем .

Разностная схема (6) устойчива “в целом”, если малое изменение “правой части” приводит к малому изменению решения, т.е. если

где с₂ не зависит от h.

Пример1.

Пусть в задаче Коши функция f(x,u) линейна по переменным.

Приведем к каноническому виду одношаговый итерационный процесс.

После аппроксимации производной y’ на сетке w_h в точке (x_n,y_n), получаем

(7)

К такому же виду может быть приведена система уравнений в задаче Коши, где уже y_n – вектор, R_h – матрица.

Пример2.

Приведем к такому же виду краевую задачу (3).

Введем векторы:

и матрицу (3) переписывается в виде

(8)

При таком преобразовании можно исследовать отдельно устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям.

Теорема1. (Необходимый и достаточный признак устойчивости процедуры (8) по правой части).

Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда

,

где с не зависит от h (т.е. от N)

Однако, это условие не всегда легко проверить. Поэтому для конкретных итерационных схем вырабатываются и доказываются конкретные достаточные условия. Таковы, например, условия “благонеявного преобладания” для схем прогонки.

Теорема2.(Необходимый спектральный признак устойчивости).

Пусть - собственные числа оператора R_h. Для устойчивости схемы (8) по правой части необходимо выполнение условия:

, (9)

причем константа не зависит от h (от N).

Пусть (9) не выполняется для некоторого собственного значения . То есть, не существует такой константы , для которой (9) выполнялось бы для данного . Фактически, это означает, что вместо линейного ограничения имеем:

, где 0<<1,c₁-некоторая константа.

Пусть - соответствующий собственный вектор, т.е.

Оценим по сеточной норме:

.

Из последнего неравенства следует:

Заметим, что по условию на , поэтому

т.е. нарушается условие устойчивости, сформулированное ранее. Происходит экспоненциальный рост ошибки.

Рассмотрим снова сеточное уравнение вида (6)

Теорема 3.(О сходимости разностной схемы (6)).

Пусть конечно-разностная задача (6) однозначно разрешима, аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком p относительно h и устойчива. Тогда имеет место сходимость:

,

где - решение сформулированной разностной задачи;

- точное решение дифференциальной задачи, взятое на сетке.

При этом, если выполняется условие

,

то говорят, что имеет место сходимость порядка p.

Согласно условию теоремы имеет место аппроксимация порядка p:

(10)

(11)

- невязка, которая получается при подстановке точного решения в левую часть уравнения. Подставляя в (10):

. (12)

В возмущенном уравнении

в качестве возмущения выберем невязку, т.е. положим , тогда

. (13)

В силу старого определения устойчивости имеем:

. (14)

Уравнения (11) и (13) имеют одинаковые правые части. В силу однозначной разрешимости задачи (6), имеем:

,

подставим в (14)

Таким образом, мы одновременно доказали сходимость и установили, что порядок сходимости совпадает с порядком аппроксимации.

70