2.2 Неявная разностная схема.

Для аппроксимации используем следующий шаблон :

Уравнение аппроксимируется разностной системой :

Аппроксимацию возьмём из предыдущей задачи

Запишем равенства в виде, удобном для метода прогонки :

Используя метод прогонки, получаем решение неявной разностной схемы для данной задачи.Текст функции,вычисляющий матрицу решения размерностью приведён ниже.

function u=nonopenf(M,N)

h=1/M;

t=1/N;

c(1)=1;

for i=2:M-1,

c(i)=2+h^2/t;

end

c(M)=1+h^2/(2*t);

b(1)=0;

for i=2:M-1,

b(i)=1;

end

for i=2:M,

a(i)=1;

end

alfa(1)=b(1)/c(1);

for i=2:M-1,

alfa(i)=b(i)/(c(i)-a(i)*alfa(i-1));

end

alfa(M)=c(M)/a(M);

U=zeros(M,N);

for T=2:N,

y=(T-1)*t;

f(1)=0;

for i=2:M-1,

x=(i-1)*h;

f(i)=h^2*(20*sin(pi/2*x)+10*(x-x^2/2-y))+h^2/t*U(i-1,T-1);

end

f(M)=h^2/(2*t)*U(M,T-1)+h^2/2*(20*sin(pi/2)+10*(1/2-y));

betta(1)=f(1)/c(1);

for i=2:M,

betta(i)=(f(i)+a(i)*betta(i-1))/(c(i)-a(i)*alfa(i-1));

end

U(M,T)=betta(M);

for i=M-1:-1:1,

U(i,T)=U(i+1,T)*alfa(i)+betta(i);

end

end

mesh(0:1/(N-1):1,0:1/(M-1):1,U),grid;

u=U;

3. Анализ полученных данных

Р ассмотрим теперь численные данные, полученные с применением приведённых выше программ. Для оценки сходимости при увеличении числа узлов сетки был применён следующий метод. Матричная норма для матриц различной размерности бралась по обычным формулам для матрицы Q размерности NxM:

где и матрицы размерности и .

Т.е. элементами матрицы были разности значений функции для совпадающих узлов различных матриц.

При t=0.2 h=0.2 U1=

0	0	0	0	0	0
0	0.9119	1.1390	1.1263	0.0029	0.8266
0	1.7669	2.3466	2.3988	2.2071	1.8993
0	2.4571	3.4028	3.5649	3.3442	2.9531
0	2.9035	4.1311	4.3995	4.1863	3.7408
0	3.0577	4.4013	4.7205	4.5148	4.0541

При t=01 h=0.1 U2=

0	0	0	0	0	0
0	0.8968	1.1522	1.1551	1.0379	0.8625
0	1.7989	2.4011	2.4712	2.2863	1.9779
0	2.5599	3.5191	3.6879	3.4733	3.0724
0	3.0704	4.3063	4.5651	4.3434	3.8879
0	3.2539	4.6006	4.8987	4.6776	4.2037

При t=0.05 h=0.05 U3=

0	0	0	0	0	0
0	0.8983	1.1691	1.1796	1.0646	0.8887
0	1.8274	2.4490	2.5280	2.3448	2.0341
0	2.6295	3.6058	3.7793	3.5629	3.1570
0	3.1788	4.4277	4.6843	4.4565	3.9929
0	3.3795	4.7359	5.0274	4.7976	4.3143

При t=0.025 h=0.025 U4=

0	0	0	0	0	0
0	0.9009	1.1806	1.1948	1.0806	0.9042
0	1.8452	2.4790	2.5624	2.3794	2.0669
0	2.6698	3.6576	3.8337	3.6156	3.2062
0	3.2408	4.4988	4.7546	4.5228	4.0542
0	3.4513	4.8149	5.1036	4.8688	4.3796

Нормы разности матриц:

NORM(U1-U2)	NORM(U2-U3)	NORM(U3-U4)
0.6167	0.4377	0.2573

Полученные данные говорят о том, что при уменьщении шага сетки норма матрицы Q уменьшается, что, в свою очередь,говорит о том, что задача решаемая этим методом корректна и устойчива.

Р ешение полученное при явной схеме.

Решение полученное при неявной схеме

.