Московский Государственный Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

кафедра Высшей Математики - I

Курсовая работа

по курсу

“Методы прикладной математики”

на тему

“Приближённое решение краевых задач математической физики методом сеток.”

Выполнил: Жаданова Е.И.

гр. МП - 35

Москва

1998 г.

Методические указания и постановка задачи.

1. Тема.

Приближенное решение краевой задачи математической физики методом сеток.

2. Цель работы.

Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональном компьютере IBM PC/AT i486 в среде MATLAB. Преимущество использования этой cреды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.

3. Порядок работы.

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и методикой численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу.

2. Классифицировать уравнение и проверить корректность постановки данной в варианте краевой задачи и соответствие её физическому смыслу.

3. Разобраться с методикой построения явных и неявных разностных схем конечно-разностных систем для данного типа уравнения.

4. Разобраться с устойчивыми методами решения явной и неявной схем.

5. Реализовать программу, осуществляющую решение в среде MATLAB.

6. Получить численные результаты для своего варианта. Оформить их в виде таблиц, построить необходимые кривые и поверхности уровней, иллюстрирующие решение задачи.

7. Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам. В теоретической части должны быть кратко освещены следующие вопросы:

• Классификация уравнения. Вскрыть физический смысл тех явлений, которые описываются данной математической постановкой задачи.

• Корректная постановка: граничные и начальные условия и их соответствие физическому смыслу.

• Понятия: сеточный шаблон, порядок аппроксимации разностных схем, сходимость, устойчивость решения.

• Выбор шагов сетки и оценка погрешности метода.

Выполнение работы.

1. Классификация краевой задачи и её физический смысл

Д анное уравнение является уравнением параболического типа и физически отражает процесс распределения тепла в однородном стержне длиной еденица. Его решением является функция - значение температуры стержня в точке в момент времени , где , .

, - граничные условия первого рода, означачающие, что в начальный момент времени температура стержня была равна нулю, и в течение всего процесса температура на левом конце стержня поддерживается постоянной, равной нулю.

- граничное условие второго рода, означачающее, что поток тепла на правом конце стержня равен нулю, то есть нет теплообмена правого конца стержня с окружающей средой.

Коэффициент теплопроводности стержня равен 1.

- плотность источников тепла.

2. Решение сеточного уравнения.

2.1. Явная разностная схема.

В явной разностной схеме значение сеточной на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекурентным формулам. В данной задаче апроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующему шаблону :

Тогда конечно-разностная схема для данной задачи имеет вид :

Значение температуры на слое явно выражается через значение температуры на слое по формуле :

Порядок аппроксимации данной разностной схемы равен . Для получения , разложим в окрестности точки по формуле Тейлора :

Используя граничное условие второго рода , получим

Откуда получаем :

Практическая реализация данного метода возможна лишь при таких соотношениях между шагами сетки и при которыхвыполняется условие устойчивости решения к ошибкам округления и неточностям в начальных данных. Это условие имеет вид . Текст функции, вычисляющий матрицу решения размерностью приведён ниже.

function result=openf(M,N)

h=1/M;

t=1/N;

U=zeros(M,N);

for T=1:N-1,

y=T*t;

for X=2:M-1,

x=X*h;

U(X,T+1)=U(X,T)+t/h^2*(U(X-1,T)- 2*U(X,T)+U(X+1,T))+t*(20*sin(pi/2*x)+10*(x-x^2/2-y));

end

U(M,T+1)=U(M,T)+2*t/h^2*(U(M-1,T)-U(M,T))+t*(20*sin(pi/2)+10*(1/2-y));

end

mesh(0:1/(N-1):1,0:1/(M-1):1,U),grid;

result=U;