Устойчивость решения.

Для уравнений гиперболического типа метод спектральных гармоник

приводит к следующему условию устойчивости:

т.е. если это условие устойчивости не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою.

Отсюда, в частности, получаем для явной схемы () условие устойчивости Куранта-Леви:.

Неявная разностная схема

Для аппроксимации используем Т-образный пятиточечный шаблон:

Рассмотрим снова краевую задачу . Для аппроксимации уравнения используем Т-образный пятиточечный шаблон . Уравнение аппроксимируется следующими уравнениями :

Аппроксимация дифференциального уравнения

Обозначим и запишем(1) к виду удобному для применения метода прогонки:

(1)

1-е начальное условие:,(3)

2-е начальное условие: ,(4)

Для ,

(5)

Для ,

(6)

Для ,

(7)

Для ,

(8)

Вычисления прогоночных коэффициентов

Сначала найдем на слое. Определим прогоночные коэффициенты.

a_i = b_i = , C_i = 1 + , f_i =

Теперь вычислим граничные прогоночные коэффициенты

a_M = , C_M = 1+, f_M =.

Методом прогонки находим где ;

Теперь зная значения находимгде

Используя уравнение (2) находим прогоночные коэффициенты:

a_i = b_i = , C_i = 1 + , f_i = 2U_i,j - U_i,j-1

Теперь вычислим граничные прогоночные коэффициенты

a_M = , C_M = 1+, f_M =.

Методом прогонки находим где;

Неявная разностная схема аппроксимирует краевую задачу с погрешностью .

Вычисления прогоночных коэффициентов.

Прогонка осуществляется послойно, т. е. при каждом фиксированном j, начиная с j=2(при j=0 “работают” начальные условия).

Зная уравнения, необходимые для решения задачи методом прогонки, с использованием аппроксимированных начальных и краевых условий.

При прогонке различают прямой и обратный ход:

при прямом ходе определяются коэффициенты инаj-ом

слое:

при обратном ходе вычисляются значения функции на j-ом слое:

Используя метод прогонки, получаем решение неявной разностной схемы для данной задачи.

Текст функции, вычисляющий матрицу решения размерностью MxN, приведен в ПРИЛОЖЕНИИ.

При исследовании сходимости решения используем следующий метод: возьмём начальную сетку, вычислим значение Uв узлах этой сетки. Затем, увеличивая размерность матрицыU,при этом, оставляя первоначальные узлы, сравним максимальное расхождение двух матриц. Если эта величина будет монотонно убывать, то решение сходится и схема устойчива.

Результаты исследования сходимости матрицы решения следующие :

Размерность U : 100x100;200x200 ;400x400.

Таблица норм (максимальных расхождений)

Размерность U	100х100	200х220	200х200	400х400	400х400	800х800
Норма (U2-U1)	0.0286313		0.0151145		0.0103078

То есть решение сходится, если выполнено условие: .

2.2.2. Таблица решения.

x\t	0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0*	0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000
0,05*	0.1664 0.2648 0.3545 0.4589 0.5563 0.6569 0.7494 0.8470 0.9441 1.0409
0,1*	0.3154 0.4086 0.5044 0.6086 0.7079 0.7956 0.8944 0.9903 1.0847 1.1763
0,15*	0.4466 0.5434 0.6576 0.7489 0.8480 0.9386 1.0356 1.1265 1.2185 1.3069
0,2*	0.5456 0.6841 0.7845 0.8882 0.9767 1.0656 1.1666 1.2525 1.3455 1.4254
0,25*	0.7385 0.8062 0.9045 0.9892 1.0930 1.1898 1.2758 1.3645 1.4514 1.5358
0,3*	0.8568 0.9084 1.0086 1.0998 1.1979 1.2878 1.3744 1.4601 1.5453 1.6246
0,35*	0.8658 0.9895 1.0897 1.1810 1.2733 1.3605 1.4514 1.5375 1.6206 1.7525
0,4*	0.9897 1.0496 1.1455 1.2484 1.3327 1.4255 1.5407 1.5955 1.6771 1.7555
0,45*	0.9587 1.0878 1.1828 1.2766 1.3688 1.4578 1.5435 1.6245 1.7069 1.7855

Форма струны в разные моменты времени.

График, иллюстрирующий решение

Срезы решения