17

Московский Государственный Институт Электронной Техники

(технический университет)

Курсовая работа по курсу

«Численные методы»

на тему:

«Приближенное решение краевых задач

математической физики методом сеток»

Выполнил:Фефилов М.Н.

МП-35

Проверил: Земсков А.Н.

Москва 2001 г.

Содержание

Теоретическая часть 3

Порядок выполнения работы 5

Неявная разностная схема 10

Приложение 15

Список литературы 17

Теоретическая часть

I. Классификация линейных уравнений в частных производных и постановка краевых задач

Классификация задач. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции двух независимых переменных .

(1)

где a, b, c, d, e, f, g – известные функции от x и y, в частности, константы. В этом случае (1) называется уравнением с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение – однородное.

Пусть – дискриминант квадратичной формы, соответствующей дифференциальному оператору второго порядка в левой части (1).

Уравнение (1) называется эллиптическим в точке , если; гиперболическим, если; параболическим, если.

При помощи невырожденного преобразования уравнение (1) приводится к одному из следующих видов:

- эллиптический;

- гиперболический;

- параболический.

Постановка задач. При математическом описании физического процесса надо, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений, поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. Они формулируются в виде так называемых краевых и начальных условий, которые зависят от типа уравнения.

II. Сеточные функции и сеточные пространства

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область G непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки – узлами сетки. Функция , определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

III. Разностная аппроксимация

Пусть дан линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию . Заменяя входящие вLV производные разностными отношениями, получим вместо LV разностное отношение , являющееся линейными комбинациями значений сеточной функциина некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая приближенная заменаLV на называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацией оператораL).

Изучение разностных аппроксимаций оператора L вначале проводят локально, т.е. в любой фиксированной точке области. Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узломузлов, в которых значения сеточной функциимогут быть использованы для аппроксимации оператора L.