Решение задачи.

Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической физики методом сеток.

(1)

Классификация задачи.

Данное уравнение является уравнением эллиптического типа. Его можно интерпретировать как описание распределения температуры в пластине конечной толщины, на всех краях которой поддерживается постоянная во времени температура (на двух краях нулевая, на других двух - описываемая законами и);- функция, описывающая распределение внутри пластины источников (стоков) тепла.

Применение метода сеток при решении уравнения Пуассона.

Аппроксимируем данное уравнение, используя пятиточечный шаблон "крест".

Аппроксимация дифференциального операторана этом шаблоне имеет вид:,

где - шаг сетки поj , h - шаг сетки по i, или .

Погрешность данной аппроксимации .

Если известна искомая функция U(x,y) в точках :

(i-1,j) ; (i+1,j) ; (i,j+1) ; (i,j-1),

то значение U(x,y) в точке (i,j) может быть приближенно найдено следующим образом:

(2)

где .

Это уравнение должно выполняться для всех внутренних узлов сетки, т.е. для . Для того, чтобы система стала полностью определенной надо дополнить ее уравнениями, полученными при аппроксимации начальных и граничных условий. В нашем случае, начальные условия аппроксимируются следующим образом:

U_0,j = U_i,0 = 0 (левая и нижняя границы соответственно),

U_M,j=, U_i,N=(правая и верхняя границы соответственно), (3)

i=0..M, j=0..N.

Система уравнений (2) и (3) является полностью определённой линейной системой алгебраических уравнений для неизвестных значений сеточной функцииUi,j (i=1,2,…,M-1; j=1,2,…N-1). Порядок аппроксимации данной разностной схемы .

Метод верхней релаксации.

Для решения данной системы воспользуемся методом верхней релаксации, который является обобщением метода Зайделя и вырождается в него при параметре сходимости .

Применительно к нашей конечно-разностной схеме, метод верхней релаксации записывается в виде:

(4)

В итерационной процедуре (4) сначала на (к+1)-ой итерации находится промежуточное значение по уже известным на данном шаге значениям сеточной функциис помощью первой формулы, а затем окончательное значениенаходится по второй формуле.

Процесс (4) сходиться для всех значений , удовлетворяющих неравенству. Вопрос о выборе оптимального значенияиз этого промежутка является достаточно сложным в теоретическом отношении, но в результате машинного эксперимента можно получить значения, близкие к оптимальному. Программаepsilon, написанная в среде MatLab изучает скорость сходимости итерационной процедуры в зависимости от параметра сходимости. В основе лежит решение данного уравнения на сетке фиксированного размера за фиксированное число шагов (например, на сетке размерностью за 50 шагов). Результатом выполнения данной программы является погрешность, достигнутая на последнем итерационном шаге. Используя эту функцию можно получить значение параметра, близкое к оптимальному. Для этого написана функцияdefinition, с помощью которой было получено . Это значение использовалось при конечных вычислениях в программе main.

Сходимость.

Для проверки сходимости метода верхней релаксации была рассмотрена следующая модельная задача:

решением которой является функция . Результаты выполнения соответствующей программыmodel приведены в Приложении. Также была рассмотрена зависимость ошибки численного решения данной системы от числа разбиений сетки. Было показано, что при сетке ошибкаоказалась меньше соответствующей ошибки при сеткепримерно в 4 раза, что говорит о том, что порядок аппроксимации равен.