2. Выбор сеточного шаблона и составление системы уравнений для неявной разностной схемы

x

T

Рис. 1.

Для упрощения вычислений воспользуемся прямоугольной равномерной сеткой с (M+1) узлом на оси OX и (N+1) на оси OT. На данной сетке заменим частные производные разностными операторами и введём сеточную функцию y, которая соответствует функции из пространства непрерывных функций.

Для решения задачи с применением неявной разностной схемы воспользуемся Т-образным шаблоном, изображенным на рис.1. По данному шаблону может быть составлена следующая двухслойная схема:

(1)

Здесь и далее нижний индекс обозначает номер узла сетки по оси X, а верхний — номер слоя (или узел по оси T). Подставляя конкретные значения (из (***)), и преобразуя к удобному для расчетов виду, получим следующий вид формулы (1):

(2)

В данной схеме порядок системы не соответствует количеству неизвестных . Недостающие уравнения найдем из начальных и граничных условий.

Одно уравнение для получаем непосредственно из начального условия.

(3)

Для аппроксимации первого краевого условия разложим в ряд Тейлора функциюв окрестности точки и вычислим значение в т. x=h:

(4)

Подставляя сюда из уравнения теплопроводности, выразим производную при :

(5)

производную заменим левой разностной производной

и записывая краевое условие третьего рода в узле в виде :

подставим в него производную из (5) получим :

(6)

Для аппроксимации второго граничного условия третьего рода разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки (1,t):

Подставляя сюда из уравнения теплопроводности, выразим производную при :

(7)

производную заменим левой разностной производной

и записывая краевое условие третьего рода в узле в виде :

подставим в него производную из (7) получим :

(8)

Подставляя конкретные значения коэффициентов и функций (из (***)), и преобразуя в удобный вид для метода прогонки, получим следующую систему уравнений :

Таким образом, сформирована система уравнений, позволяющая найти, зная начальные условия (M+1)x(N+1) неизвестную.

Рассмотрим теперь порядок аппроксимации, который обеспечивает данная разностная схема. Анализ самой разностной схемы с выбранным шаблоном характеризуется погрешностью, с которой аппроксимирована функция ,начального условия (было аппроксимировано точно), и погрешность аппроксимации граничных условий .Таким образом, точность аппроксимации всей схемы не превышает этого значения. Устойчивость и корректность метода прогонки обеспечивается при условии выполнения следующей теоремы:

Если коэффициенты системы уравнений метода прогонки удовлетворяют следующие условия

причем хотя бы одно из неравенств {1} или {2} является строгим, тогда для

метода прогонки имеют место неравенства:

которые гарантируют корректность и устойчивость метода прогонки.

2. Выбор сеточного шаблона и составление системы уравнений для явной разностной схемы

x

T

Рис. 1.

Для составления системы уравнений для явной схемы воспользуемся прямоугольной равномерной сеткой с (M+1) узлом на оси OX и (N+1) на оси OT. На данной сетке заменим частные производные разностными операторами и введём сеточную функцию, которая соответствует функции из пространства непрерывных функций.

Для решения задачи с применением явной разностной схемы воспользуемся перевернутым Т-образным шаблоном (Рис.1). По данному шаблону может быть составлена следующая двухслойная схема:

(9)

Преобразуя к удобному для расчетов виду, получим следующий вид формулы (9):

(10)

Использование полученной формулы для каждого последующего слоя (по T) даёт возможность получить для него на два значения больше чем известно на текущем. Причем, неизвестными остаются краевые значения, для нахождения которых воспользуемся, полученными ранее для неявной схемы, уравнениями выведенными на базе аппроксимации краевых условий ((6),(7)), представив их в удобном для расчета виде:

(11)

(12)

Как и в неявной схеме для заполнения первого слоя по T воспользуемся начальным условием (уравнением 3). И, подставив конкретные значения для явной схемы, получаем систему уравнений: