2. Выбор сеточного шаблона и составление системы уравнений для неявной разностной схемы

x

T

Рис. 1.

Для упрощения вычислений воспользуемся прямоугольной равномерной сеткой с (M+1) узлом на оси OX и (N+1) на оси OT. На данной сетке заменим частные производные разностными операторами и введём сеточную функцию y, которая соответствует функции из пространства непрерывных функций.

Для решения задачи с применением неявной разностной схемы воспользуемся Т-образным шаблоном, изображенным на рис.1. По данному шаблону может быть составлена следующая двухслойная схема:

(1)

Здесь и далее нижний индекс обозначает номер узла сетки по оси X, а верхний — номер слоя (или узел по оси T). Подставляя конкретные значения (из (***)), и преобразуя к удобному для расчетов виду, получим следующий вид формулы (1):

(2)

В данной схеме порядок системы не соответствует количеству неизвестных . Недостающие уравнения найдем из начальных и граничных условий.

Одно уравнение для получаем непосредственно из начального условия.

(3)

Для аппроксимации первого краевого условия разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки и вычислим значение в т. x=h:

(4)

Подставляя сюда из уравнения теплопроводности, выразим производную при :

(5)

производную заменим левой разностной производной

и записывая краевое условие третьего рода в узле в виде :

подставим в него производную из (5) получим :

(6)

Для аппроксимации второго граничного условия третьего рода разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки (1,t):

Подставляя сюда из уравнения теплопроводности, выразим производную при :

(7)

производную заменим левой разностной производной

и записывая краевое условие третьего рода в узле в виде :

подставим в него производную из (7) получим :

(8)

Подставляя конкретные значения коэффициентов и функций (из (***)), и преобразуя в удобный вид для метода прогонки, получим следующую систему уравнений :

Таким образом, сформирована система уравнений, позволяющая найти, зная начальные условия (M+1)x(N+1) неизвестную.

Рассмотрим теперь порядок аппроксимации, который обеспечивает данная разностная схема. Анализ самой разностной схемы с выбранным шаблоном характеризуется погрешностью, с которой аппроксимирована функция , начального условия (было аппроксимировано точно), и погрешность аппроксимации граничных условий . Таким образом, точность аппроксимации всей схемы не превышает этого значения. Устойчивость и корректность метода прогонки обеспечивается при условии выполнения следующей теоремы:

Если коэффициенты системы уравнений метода прогонки удовлетворяют следующие условия

причем хотя бы одно из неравенств {1} или {2} является строгим, тогда для

метода прогонки имеют место неравенства:

к оторые гарантируют корректность и устойчивость метода прогонки.