Московский Государственный Институт Электронной Техники

( Технический Университет )

Курсовая работа по теме :

Численные методы решения разностных уравнений математической физики

Вариант №4.

Выполнил: Воронин А.Ю.

Группа: МП-33

Руководитель: Соколова Т.В.

МОСКВА 1999 г.

Постановка задачи.

Задание:получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической

физики методом сеток.

Данное уравнение является уравнением гиперболического типа и физически отражает процесс колебания струны. Искомое решение U(x,y) - вертикальное отклонение струны в точке x в момент времени t.

Данная краевая задача состоит в нахождении функции U(x,y), удовлетворяющей уравнению, а также заданным начальным и граничным условиям.

Граничное условие рода определяет закон движения правого конца струны так называемое условие «упругого закрепления».Для левого конца в качестве граничного условия задано условие

Начальные условия изадают начальную форму струны и распределение скоростей в начальный момент времени.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующим шаблонам

2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон " крест".

Получаем конечно-разностную систему :

Обозначим и выразим через остальные значения сеточной функции,

входящие в уравнение:

i = 1,.....,m-1;

j = 1,.....,n-1.

Уравнение (1) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки . Для того чтобы система стала полностью определенной , необходимо дополнить ее уравнениями получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.

2.2 Аппроксимация 1-го начального условия.

2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия.

Аппроксимация краевого условия второго рода используется только для нахождения решения на границе i=0 в явном виде:

(3)

2.4 Аппроксимация 2-го начального условия.

Для более точного аппроксимирования 2-го начального условия разложим в окрестности точки по формуле Тейлора и используя начальные условия перейдем к конечным разностям:

(4)

Формула (4) используется на начальном этапе для вычисления значения функции U на первом слое, по известным значениям функции на нулевом слое и на границе .

5. Аппроксимация 2-го граничного условия.

Для более точного аппроксимирования 2-го граничного условия разложим в окрестности точки (1,y ) по формуле Тейлора:

Используя уравнение краевой задачи и второе граничное условие получаем:

Перейдя к конечным разностям, записываемыми в узле , получаем:

(5)

Выражая из него получаем:

(6)

Найдем необходимую точку. Из (4) , при

Откуда -

(7)

Из (5) , при :

Откуда -

(8)

Из (1) , при

(9)

Итак при и определены. Включается рекуррентная процедура.

Порядок аппроксимации данной разностной схемы .

Устойчивость решения.

Для уравнений гиперболического типа метод спектральных гармоник

приводит к следующему условию устойчивости:

(7),

т.е. если это условие устойчивости не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою.

Отсюда, в частности, получаем для явной схемы () условие устойчивости Куранта-Леви:.