Московский Государственный Институт Электронной Техники

( Технический Университет )

Курсовая работа по теме :

Численные методы решения разностных уравнений математической физики

Вариант №6.

Выполнил : Голубев В.С.

Группа : МП-34

Руководитель : Лисовец Ю.П.

МОСКВА 1998 г.

Постановка задачи

Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической физики методом сеток.

(1)

0< x,t<1 (2).

Данное уравнение является уравнением гиперболического типа и физически отражает процесс колебания струны. Искомое решение U=U(x,t) - вертикальное отклонение струны в точке х в момент времени t.

Данная краевая задача состоит в нахождении функции U=U(x,t), удовлетворяющей уравнению (1), а также заданным начальным и граничным условиям (2).

Граничное условие первого рода U=U(1,t) определяет закон движения правого конца струны. Для левого конца в качестве граничного условия задано так называемое условие «упругого конца» (граничное условие третьего рода):

U_x (0,t)=U(0,t) .

Начальные условия U(x,0)=0 и U_t(x,0)=1 задают начальную форму струны и распределение скоростей в начальный момент времени.

Функция f(x,t) имеет смысл плотности внешней силы, рассчитанной на единицу длины.

Решение задачи с помощью явной разностной схемы

В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующим шаблонам :

2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон "крест". Получаем конечно-разностную систему :

Обозначим g=t/h и выразим U(i,j+1) через остальные значения сеточной функции , входящие в уравнение :

Уравнение (1) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки . Для того чтобы система стала полностью определенной, необходимо дополнить ее уравнениями получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.

2.2 Аппроксимация 1-го начального условия

2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия

Аппроксимация краевого условия третьего рода используется только для нахождения решения на границе i=0 в явном виде:

(3)

4. Аппроксимация 2-го начального условия

Для более точного аппроксимирования 2-го начального условия разложим U(x,t) в окрестности точки (x,0) по формуле Тейлора и используя 1-ое и

2-ое начальное условия перейдем к конечным разностям:

Принимая во внимание уравнение (2) получаем:

Формула (5) используется на начальном этапе для вычисления значения функции U(x,t) на первом слое, по известным значениям функции на нулевом слое и на границе .