Московский Государственный Институт Электронной Техники
( Технический Университет )
Курсовая работа по теме :
Численные методы решения разностных уравнений математической физики
Вариант №6.
Выполнил : Голубев В.С.
Группа : МП-34
Руководитель : Лисовец Ю.П.
МОСКВА 1998 г.
Постановка задачи.
Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической
физики методом сеток.
(1)
(2).
Данное уравнение
является уравнением гиперболического
типа и физически отражает процесс
колебания струны.
Искомое решение
- вертикальное отклонение струны в
точке
в момент времени
.
Данная краевая
задача состоит в нахождении функции
,
удовлетворяющей уравнению (1), а также
заданным начальным и граничным условиям
(2).
Граничное условие
первого рода
определяет закон движения правого
конца струны. Для левого конца в качестве
граничного условия задано так называемое
условие «упругого конца» (граничное
условие третьего рода):
Начальные
условия
и
задают
начальную форму струны и распределение
скоростей в начальный момент времени.
Функция
имеет смысл плотности внешней силы,
рассчитанной на единицу длины.
Решение задачи с помощью явной разностной схемы
В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующим шаблонам :
2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения
Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон " крест".
Получаем конечно-разностную систему :
Обозначим g=t/h и выразим u(i,j+1) через остальные значения сеточной функции ,
входящие в уравнение :
Уравнение (1) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки . Для того чтобы система стала полностью определенной , необходимо дополнить ее уравнениями получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.
2.2 Аппроксимация 1-го начального условия.
2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия.
Аппроксимация краевого условия третьего рода используется только для нахождения решения на границе i=0 в явном виде:
(3)
2.4 Аппроксимация 2-го начального условия.
Для более точного аппроксимирования 2-го начального условия разложим u(x,T )
в окрестности точки (x,0) по формуле Тейлора и используя 1-ое и 2-ое начальное условия перейдем к конечным разностям:
Принимая во внимание уравнение (2) получаем:
Формула (5) используется на начальном этапе для вычисления значения функции u(x,T ) на первом слое, по известным значениям функции на нулевом слое и на границе .
-
Аппроксимация 2-го граничного условия .
Порядок аппроксимации
данной разностной схемы
Устойчивость решения.
Для уравнений гиперболического типа метод спектральных гармоник
приводит к следующему условию устойчивости:
(7),
т.е. если это условие устойчивости не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою.
Отсюда, в частности,
получаем для явной схемы (
)
условие устойчивости Куранта-Леви:
.
Итак u(i,j ) при j=0 и j=1 определены. Включается рекуррентная процедура описываемая уравнением (1) и вычисляется u(i,j ) для всех i=1,2,...,m-1 , для каждого фиксированного j=2,...,n-1. Текст программы в среде Matlab приведен в приложении (стр. ). Поверхность функции являющейся решением нашего дифференциального уравнения изображена в приложении (стр. ).
Решение задачи с помощью неявной разностной схемы
Рассмотрим снова нашу краевую задачу . Для аппроксимации уравнения используем Т-образный пятиточечный шаблон . Уравнение аппроксимируется следующими уравнениями :
3.1 Аппроксимация дифференциального уравнения
Обозначим g=t/h и запишем (1) к виду удобному для применения метода прогонки:
3.2 Аппроксимация 1-го начального условия
3.3 Аппроксимация 1-го граничного условия
