ЧМ (МП-3) / Курсовые / mpm_14a / MPM

Московский Государственный Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа

по курсу

“Численные методы”

на тему

“Приближённое решение краевых задач математической физики методом сеток.”

Выполнил: Тяпкин А.

гр. МП- 39

Москва

2000 г.

Методические указания и постановка задачи.

1. Тема.

Приближенное решение краевой задачи математической физики методом сеток.

2. Цель работы.

Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональном компьютере IBM PC/AT i486 в среде MATLAB. Преимущество использования этой cреды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.

3. Порядок работы.

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и методикой численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу.

2. Классифицировать уравнение и проверить корректность постановки данной в варианте краевой задачи и соответствие её физическому смыслу.

3. Разобраться с методикой построения явных и неявных разностных схем конечно-разностных систем для данного типа уравнения.

4. Разобраться с устойчивым методoм решения неявной схемы.

5. Реализовать программу, осуществляющую решение в среде MATLAB.

6. Получить численные результаты для своего варианта. Оформить их в виде таблиц, построить необходимые кривые и поверхности уровней, иллюстрирующие решение задачи.

7. Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам. В теоретической части должны быть кратко освещены следующие вопросы:

• Классификация уравнения. Вскрыть физический смысл тех явлений, которые описываются данной математической постановкой задачи.

• Корректная постановка: граничные и начальные условия и их соответствие физическому смыслу.

• Понятия: сеточный шаблон, порядок аппроксимации разностных схем, сходимость, устойчивость решения.

• Выбор шагов сетки и оценка погрешности метода.

Выполнение работы.

1. Классификация краевой задачи и её физический смысл

Д анное уравнение является уравнением параболического типа и физически отражает процесс распределения тепла в однородном стержне длиной еденица. Его решением является функция - значение температуры стержня в точке в момент времени , где , .

, - граничные условия первого рода, означачающие, что в начальный момент времени температура стержня была равна нулю, и в течение всего процесса температура на левом конце стержня поддерживается постоянной, равной нулю.

- граничное условие второго рода, означачающее, что поток тепла на правом конце стержня равен нулю, то есть нет теплообмена правого конца стержня с окружающей средой.

- граничное условие третьего рода, означающее,

что на левом конце стержня по закону Ньютона происходит теплообмен с окружающей средой, температура , которой известна.

Коэффициент теплопроводности стержня равен 1.

- плотность источников тепла.

2. Неявная разностная схема.

Для аппроксимации используем следующий шаблон :

Уравнение аппроксимируется разностной системой :

З апишем равенства в виде, удобном для метода прогонки :

Получим систему:

Используя метод прогонки, получаем решение неявной разностной схемы для данной задачи.Текст функции,вычисляющий матрицу решения размерностью приведён ниже.

diary c:\kursach.txt

diary on

% Вичисление u

%<<<<<<< определение числа разбиений по осям x, t >>>>>>>>>>>>>>>>>>>

M=40;

N=40;

%<<<<<<< определение шагов сетки по оси x или t >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

h=1/M;

t=1/N;

%<<<<<<<<<<< определение рабочих констант >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

u=zeros(M+1,N+1);

h2=h^2;

t2=t^2;

g2=t2/h2;

%<<<<<<<<< заполнение матрицы U(x,t) 1-ым начальным условием >>>>>>>

for i=0:M, u(i+1,1)=1;

end

A=zeros(M+1,1);

C=zeros(M+1,1);

B=A;

A1=A;

F=C;

B1=C;

%<<<<<<<<<<<< этап заполнения матрицы U(x,t) >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

%^^^^^^^^^^(1) Определение прогоночных коэффициентов (1)^^^^^^^^^^^^^^^^^

for i=1:M-1, A(i)=1; B(i+1)=1; C(i+1)=2+h2/t; end;

%^^^^^^(2) Определение граничных прогоночных коэффициентов (2)^^^^^^^^^^^

A(M+1)=0; B(1)=1; C(1)=1+h2/(2*t); C(M+1)=1;

%<<<<<<< определение U(i,j) методом прогонки >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

A1(1)=B(1)/C(1);

for i=2:M,

A1(i)=B(i)/(C(i)-A(i-1)*A1(i-1));

end;

for j=1:N,

F(1)=h2*u(1,j-1)/(2*t)+h2*4;

for i=1:M-1,

F(i+1)=h2*8*exp(h*i*t*j)+h2*u(i,j)/t;

end;

F(M+1)=1+(j*t)^2;

B1(1)=F(1)/C(1);

for i=2:M,

B1(i)=(F(i)+A(i-1)*B1(i-1))/(C(i)-A(i-1)*A1(i-1));

end;

B1(M+1)=(F(M+1)+A(M)*B1(M))/(C(M+1)-A(M)*A1(M));

u(M+1,j+1)=B1(M+1);

for i=M:-1:1,

u(i,j+1)=A1(i)*u(i+1,j+1)+B1(i);

end;

end;

contour(u,40);

pause;

for z=0:10:360

mesh(u,[z 30]);

pause;

end

%<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< The End >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Список литературы

1. Теория разностных схем., Самарский А. А., М., Наука, 1977г.

2. Численные методы., Калиткин Н. Н., М., Наука, 1978г.

3. Численные методы решения разностных уравнений мат физики. Долголаптев В. Г., Земсков В. Н., М., МИЭТ, 1987г.

4. Сборник задач по математике для втузов, т. 4 Методы оптимизации, М., Наука, 1990г.

5. Методическое пособие по выполнению домашних заданий с использованием ЭВМ “Решение уравнений математической физики методом сеток”, М., МИЭТ, 1976г.

6. Методы решения сеточных уравнений., Самарский А. А., Николаев Е. С., М., Наука, 1978г.

7. Прикладные итерационные методы. Хейгеман Л., Янг Л., М., Мир, 1986г.

8. Матрицы и вычисления., Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А., М., Наука, 1984г.

0