3. Задача оптимального распределения ресурсов.

а) Постановка задачи.

Задачи на оптимальное распределение ресурса, который можно использовать различным образом, возникают при разработке оперативных и перспективных планов особенно часто. К ним относятся задачи о распределении средств на приобретение оборудования, закупку сырья и найм специалистов; задачи о распределении товара по торговым предприятиям и складам; задачи по определению последовательности пропорций между продукцией с/х производства, предназначенной для реализации и воспроизводства и т.д.

Рассмотрим задачу оптимального распределения заданного объема капиталовложений в несколько предприятий.

Пусть на реконструкцию и модернизацию 4-х своих филиалов фирма имеет возможность выделить 200 млн. руб. Ожидаемый прирост прибыли зависит как от финансируемого филиала, так и от объема этого финансирования. Однако, прирост прибыли в отдельно взятом филиале не зависит от вложенных средств в другие филиалы, а общая прибыль фирмы равна сумме всех приростов по филиалам. Следует определить оптимальное распределение капиталовложений между филиалами, максимизирующее общий прирост прибыли фирмы.

В данном случае речь идет об однократном распределении средств, и поэтому задача сама по себе не является динамической. Однако, ее можно наиболее просто решить как ‌«многошаговую», если объекты капиталовложений (филиалы) включать в рассмотрение последовательно, т.е. на каждом шаге к рассмотренным добавлять следующий.

При таком подходе можно использовать функциональные уравнения Беллмана. Для их решения в табулированном виде общий объем капиталовложений разбивается на Nинтервалов с шагом(для нашей задачи положимN= 4, тогда= 200/4=50 млн. руб.). Т.е. значения функций, входящих в уравнения Беллмана, будут определяться только в точках, кратных(в нашем примере в точках 0, 50, 100, 150, 200).

Пусть ожидаемый прирост прибыли филиалов при соответствующих капиталовложениях задан таблицей.

Кап. Вложения	Прирост прибыли по филиалам
	1	2	3	4
50	25	30	36	28
100	60	70	64	56
150	100	90	95	110
200	140	122	130	142

С =200 – общий объем распределяемых средств;

х - объем средств, выделяемых филиалам (на каждом шаге), 0≤ х ≤C.

F_i(x_i) – ожидаемый приростi-той фирмы при выделении ей х_iсредств. Тогда целевая функция

F = F₁(x₁) + F₂(x₂) + F₃(x₃) + F₄(x₄) → max

при ограничении x₁+x₂+x₃+x₄=C,x_i≥ 0,i=.

б) Схема решения.

1. Введем последовательность функций:

z₁(x) –maxприбыль фирмы, еслиxсредств выделить одному 1-му филиалу;

z₂(x) –maxприбыль фирмы, еслиxсредств распределить между 1-м и 2-м филиалами;

z₃(x) –maxприбыль фирмы, если х средств распределить между 3-м и двумя первыми

филиалами;

z₄(x) –maxприбыль фирмы, при распределенииxсредств между всеми 4-мя

филиалами.

Очевидно, что z₄(C) =maxF=F*,az_i(0) = 0.

2. «Обратный ход».

Рассмотрим финансирование только 1-го филиала, тогда по определению

z₁(x) =F₁(x). (1)

Пусть теперь средства в объеме xраспределяются между 1-м и 2-м филиалами: 2-му в объемеx₂, тогда х – х₂= х₁выделяется 1-му. Общая прибыль двух филиалов

z₂(x) = (F₂(x₂) +z₁(x–x₂)). (2)

Теперь включим в рассмотрение дополнительно 3-й филиал: из общей суммы х выделим 3-му филиалу х₃, тогда остальная часть х – х₃оптимальным образом распределяется между двумя первыми

z₃(x) = (F₃(x₃) +z₂(x–x₃)). (3)

Наконец, по аналогии находим

z₄(x) = (F₄(x₄) +z₃(x–x₄)). (4)

3. «Прямой ход».

Функциональные уравнения Беллмана (1) – (4) позволяют рассчитать значения z_iиF_iдля всех возможных х. Среди них находимz₄(C) =F* и оптимальноеx₄* такое, что

F₄(x₄*) =F₄*, после чего результаты вычислений просматриваются в обратном порядке. Знаяx₄*, находим С–х₄* - объем финансирования остальных трех филиалов, а следовательно, иF₃* и х₃*, и т.д. до нахождения х₁* иF₁* =F₁(x₁*).

в) Расчет.

….