The same in HTML for Unixoids / 08 / Лекция8

Неоднородное уравнение Фредгольма II-го рода Лекция 8.Неоднородное уравнение Фредгольма II-го рода.

Случай симметричного ядра.

Рассмотрим интегральное уравнение

-непрерывная функция, -непрерывное симметричное ядро.

Предположим, что решение этого уравнения существует.

Тогда для функции , справедлива теорема Гильберта-Шмидта, т.е , - собственные функции ядра, в сумме может быть и конечное число слагаемых. Используя тот факт, что

Получим, что . Таким образом, если решение существует, то оно представимо в виде: (1), где определяется соотношением: , т.е

(2)

. Когда ядро не вырождено, то с.ф. бесконечно много, покажем, что ряд сходится равномерно. В этом случае , а, следовательно, для достаточно больших

,

т.е. по т. Г-Ш ряд ряд сходится абсолютноя, а следовательно ряд из модулей является мажорирующим для ряда . Т.е. ряд (1) сходится абсолютно и равномерно.

Мы получили решение в предположении, что оно существует. Теперь проверим, что это выражение действительно является решением. В силу равномерной сходимости ряда его можно интегрировать почленно, тогда

,

что и требовалось.

Пусть имеется два решения, тогда их разность удовлетворяет однородному интегральному уравнению , но не совпадает не с одним из с.з т.е .

Резольвента.

Т.е , где

Рассмотрим случай . Пусть -с.ф. ядра соответсвующие

Если , то (2) противоречиво, пусть , тогда не определены остальные определены однозначно, т.е

(3)

То что это выражение определяет решение интегрального уравнения показывается аналогично случаю 1.

Таким образом доказана

Теорема. Пусть удовлетворяет указанным выше требованиям.

Если не совпадает ни с одни с.з ядра, то решение интегрального уравнения существует, единственно и представимо в виде (2).

Если и ортогональна всем с.ф., соответствующим , то решение существует, но не единственно и представимо в виде (3).

Если и не ортогональна хотя бы одной с.ф, то решения не существует.

Случай “малого” .

Откажемся от требования симметрии

Теорема. Если , решение существует и единственно и может быть найдено как предел равномерно сходящейся последовательности приближений .

где - произвольная непрерывная функция.

Доказательство. Используем принцип сжатых отображений. Будем действовать в полном метрическом пространстве , где . Рассмотрим оператор

, Оператор действует из в , кроме того .

Т.к , то имеет место принцип сжатых отображений.

Резольвента.

Но

Т.е ряд сходится равномерно при

А значит можно перейти к пределу и поменять интегрирование и суммирование.

Это выражение переходит в случае симметричного ядра в то, что мы получили ранее.

Замечание. Эти результаты обобщаются на случай полярных ядер.

Замечание. Ограничение на можно ослабить.

Случай уравнения Вольтера

Теорема. Задача имеет единственное решение при любом .

,

Пусть , тогда

,

. Т.о члены ряда мажорируются абсолютно сходящимся числовым рядом, что гарантирует равномерную сходимость.

Теоремы Фредгольма. Сформулируем теоремы для несимметричных ядер, обобщающие результаты полученные для симметричного ядра.

Интегральные уравнения

и

называются союзными.

Теорема. Собственные числа ядер и совпадают

Теорема. Пусть не является собственным значением ядра . Тогда решение интегрального уравнения и решение союзного уравнения существуют и единственны при любых и .

Теорема. Если является собственным значением ядра то однородное уравнение и союзное с ним однородное уравнение имеет одинаковое число линейно независимых собственных функций.

Теорема. Если является собственным значение ядра , то для существования решения неоднородного необходимо и достаточно, чтобы функция была ортогональна всем собственным функциям союзного ядра, отвечающему тому же .

Из второй и четвёртой теоремы следует альтернатива Фредгольма.

Альтернатива Фредгольма.

Либо интегральное уравнение имеет единственное решение при любой функции , либо существует нетривиальное решение союзного однородного уравнения.

Замечание. Теоремы Фредгольма обобщаются на случай полярных ядер.