5.6. Определение перемещений. Интеграл Мора

Снова рассмотрим два состояния системы (рис. 5.11). В первом из них на систему действует любой комплекс внешних нагрузок, во втором только единичный силовой фактор, например сила .

Составим выражение работы, совершаемой заданным комплексом внешних нагрузок (1-е состояние) в направлении действия силы (2-е состояние). Согласно принципу возможных перемещений или

. (5.24)

1-е состояние 2-е состояние

Черта над обозначениями усилий означает, что эти усилия найдены от действия единичного силового фактора. Таким образом, перемещения от любой нагрузки можно выразить через внутренние усилия, возникающие в этой системе от действия на неё заданной внешней нагрузки и от действия на неё единичного силового фактора. При этом направление единичного силового фактора совпадает с направлением искомого перемещения.

Если определяется линейное перемещение (рис. 5.12), то в единичном (дополнительном) состоянии к системе, в той точке, перемещение которой определяется, прикладывается сила .Если определяется угловое перемещение (рис. 5.13), то к тому сечению, поворот которого определяется, прикладывают сосредоточенный момент

_

М=1

_

F=1

Рис. 5.12

Рис. 5.13

Если определяют взаимное линейное смещение (рис. 5.14) двух точек системы, то в единичном состоянии к этим точкам по линии искомого смещения прикладывают единичные сосредоточенные силы, вектор которых направлен в разные стороны.

Если определяют взаимное угловое перемещение двух сечений, то в единичном состоянии к этим двум сечениям (рис. 5.15) прикладывают сосредоточенные единичные моменты, вектор которых направлен в сторону возможного взаимного углового перемещения.

В общем виде формула для определения перемещений принимает следующий вид:

(5.25)

Выражение (5.25) называется интегралом Мора.

Порядок определения перемещений:

 находят аналитические выражения для определения внутренних усилий при действии на систему заданной внешней нагрузки (действительное состояние системы);

 по направлению искомого перемещения прикладывают соответствующий искомому перемещению единичный силовой фактор, от действия которого находят аналитическое выражение внутреннего силового фактора (единичное состояние системы);

 полученные аналитические выражения внутренних силовых факторов подставляют под знаки интегралов и осуществляют интегрирование, результатом которого является определение величины искомого перемещения.

При этом следует отметить, что если знак найденного перемещения окажется отрицательным, то это означает, что действительное направление искомого перемещения направлено в противоположную сторону.

5.7. Правило п. Верещагина

На практике часто встречаются случаи, когда на отдельных участках стержни имеют одинаковые физические и геометрические параметры, а одна из подынтегральных функций изменяется линейно. Тогда при учёте только изгибающего момента интеграл Мора принимает следующий вид:

(5.26)

Подынтегральные функции представляют собой функции, по которым строят соответствующие эпюры (рис. 5.16).

Без учёта жёсткости, переходя к интегрированию по координате х,

. (5.27)

На рис. 5.16 эпюра М_m представляет собой эпюру, построенную от того или иного силового фактора, равного единице (единичная эпюра), а эпюраМ_nпредставляет собой эпюру, построенную от действия заданной внешней нагрузки. Такую эпюру называют эпюрой действительного состояния или грузовой.