3. Расчёт распорных систем

3.1. Общие сведения

Распорной называется такая система, в результате действия на которую вертикальных внешних нагрузок в ней возникают наклонные опорные реакции.На рис. 3.1 показаны два типа распорных систем.

При расчёте распорных систем наклонную опорную реакцию Rразлагают на две составляющиевертикальнуюVи горизонтальную Н. Горизонтальная составляющая опорной реакции Н называется распором. Если горизонтальная составляющаяНнаправлена вовнутрь конструкции, то такую конструкцию называютарочной системой (рис. 3.1, а), если наружу  висячей системой(рис. 3.1, б).

В настоящем курсе рассматривается только арочная система (арка).

По степени статической определимости различают арки: трёхшарнирные (рис. 3.2, а), двухшарнирные (рис. 3.2,б) и бесшарнирные (рис. 3.2,в).

Арки могут быть как сплошными, так и решётчатыми. Опоры арки могут располагаться как в одном уровне, так и в разных уровнях.

Конструктивные элементы арки показаны на рис. 3.3: пролёт арки;

fстрела подъёма арки; шарниры А и В называются пятовыми, а шарнир С  замковым. Элемент арки между шарнирами А и С называется левой полуаркой, а между шарнирамиВиСправой полуаркой.

П

о отношению стрелы подъёма арки к её длине различают следующие типы арок:

подъёмистая арка; пологая арка.

Ось арки может быть очерчена различными кривыми. Наиболее часто в практике транспортного строительства используется парабола, описанная выражением (3.1), и дуга окружности, описанная выражением (3.2).

парабола. (3.1)

Тригонометрические функции, соответствующие параболе, имеют следующий вид: tg =;cos= ;sin=cos tg.

дуга окружности. (3.2) Тригонометрические функции, соответствующие дуге окружности имеют

Следующий вид: ;;.

В последних формулах радиус окружности.

3.2. Расчёт трёхшарнирной арки на статическую нагрузку

Как и любой расчёт, расчёт трёхшарнирной арки начинают с определения опорных реакций. На рис. 3.4 изображена арка с пятами на одном уровне, находящаяся под воздействием системы внешних нагрузок.

Вертикальные составляющие V_a и V_b опорных реакцийR_a и R_bнаходят

из рассмотрения пролёта арки, как пролёта балки. Тогда из М_В= 0находят:

, а из М_А= 0.

q

М

F

y

К

R_А

R_В

V_А

С

V_В

x

H_В

ℓ₂

H_А

ℓ₁

В

А

ℓ

q

М

F

V_А

V_В

К

Рис. 3.4

Здесь представляет собой так называемый балочный момент,

т.е. момент, создаваемый вертикальными силами.

Для определения горизонтальных Н_aи Н_bсоставляющих опорных реакцийR_a и R_bрассмотрим равновесие арки в целом, составив уравнение статики суммы проекции всех сил, действующих на арку, на горизонтальную осьх.х=Н_a  Н_b = 0  Н_a = Н_b = Н.Далее, составляя уравнение моментов относительно замкового шарнираС, рассматривая при этом равновесие либо левой, либо правой полуарок, можно записать

(3.3)

Исходя из (3.3) находят (3.4)

Для определения в произвольном сечении арки внутренних усилий мысленно в этом сечении проводят плоскость, нормальную к оси арки (рис. 3.5). Положение плоскости определяется координатами её центра тяжести х_к,у_ки _к.

Отделяемая этим сечением любая из частей арки находится в равновесии под действием приложенных к рассматриваемой части арки внешних сил и равнодействующей Rвнутренних сил, приложенной к плоскости сечения. С отнесением равнодействующейRв центр тяжести сечения внутренние усилия в сечении арки будут определяться изгибающим моментомМ_х,поперечной силой Q_xи продольной силойN_x.Рассматривая равновесие оставшейся части арки (см. рис. 3.5), составляют уравнение моментов относительно сечения к и уравнения проекций всех сил на нормаль и касательную к оси арки в точке к соответственно. Исходя из этого получены выражения

; (3.5)

; (3.6)

_k + _k(3.7)

По приведённым формулам строят эпюры внутренних усилий, предварительно определив геометрические параметры каждого рассматриваемого сечения трёхшарнирной арки.