The same in HTML for Unixoids / 07 / Лекция7
.htmТеорема Гильберта-Шмидта Теорема Гильберта-Шмидта.
Определение. Непрерывная функция представима через ядро , если существует непрерывная на функция , т.е .
Теорема. Если представима через симметричное ядро , то она может быть разложена в ряд по с.ф
, где , причём ряд сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Покажем, что ряд сходится равномерно
Заметим, что , величина коэф. Фурье функции при каждом фиксированном , рассматриваемого как функция .
Воспользуемся теперь неравенством Бесселя для и ,
В силу критерия Коши сходимости числового ряда , при
Ряд из непрерывных функций сходится равномерно к некоторой непрерывной функции , а, следовательно, осталось доказать
Обозначим . Покажем, что , ортогонально всем , в силу равномерной сходимости его можно почленно интегрировать
.
Следовательно, по теореме из прошлой лекции , но
А, следовательно, , т.е .
Повторные ядра.
Рассмотрим
Получим для
Т.е.
Теорема. Для повторных ядер справедливо соотношение
Доказательство. По индукции.
Теорема. Если ядро такое, что - вещественная непрерывная по совокупности переменных функция, , то этими же свойствами обладает повторные ядра любого порядка.
Последняя формула показывает, что повторное ядро представимо через ядро , роль функции играет .
Выражение для коэффициентов Фурье.
т.е
Теорема. При справедливо разложение
(1) причём ряд сходится абсолютно и равномерно.
Определение. Ядро называется положительно определённым, если все его собственные значения .
Теорема Мерсера. Для положительно определённого ядра справедливо равенство (1) причём ряд сходится абсолютно и равномерно.
Замечание. Теорема остаётся справедливой и если у ядра конечное число отрицательных собственных значений.
Ослабление требований на ядро.
Можно рассматривать всю эту теорию пространстве с комплексным скалярным произведением. Роль симметричных операторов играют эрмитовы, для которых . И получить аналогичные результаты, в частности , и доказательство действительности .
Все полученные результаты устанавливаются аналогично, когда в интегральном уравнении интегралы являются многократными, а вместо фигурируют координаты точек пространства.
Требование непрерывности можно ослабить а именно. Результаты относящиеся к существованию с.з. справедливы и для полярных ядер:
, размерность пространства, расстояние между точками в -мерном пространстве. Теорема Гильберта-Шмидта и следствия из неё справедлива для слабополярных ядер
Требование симметрии или эрмитовости снять нельзя придоказательстве существования собственных значений
Пример. .