Состоятельность оценок

Общий подход к изучению асимптотического поведения решений экстремальных статистических задач развит в статье [23]. Согласно нему сначала устанавливается предельное поведение значений функционала (показателя разброса) при фиксированном Т, а затем устанавливаются условия, обеспечивающие сходимость Argmin допредельного случайного процесса к Argmin предельной функции.

Свойства алгоритмов приходится изучать в рамках тех или иных вероятностно-статистических моделей. Моделей может быть много. Достаточно вспомнить историю Центральной Предельной Теоремы (ЦПТ) теории вероятностей, которая на протяжении более 200 лет доказывалась во все более и более широких условиях. Отметим, что иногда математические модели далеко выходят за пределы, обеспечивающие обоснование алгоритмов анализа реальных данных. Так, почти всегда распределения реальных величин дискретны и финитны, а потому, в частности, существуют все моменты. Однако условия финитности и дискретности в вероятностно-статистических моделях часто необоснованно ослабляется. В результате возникают проблемы, не имеющие отношения к реальным данным, например, связанные с измеримостью. Поэтому в настоящей работе ограничимся наиболее простыми моделями из адекватных реальным постановкам.

Теорема 1. Пусть случайный процесс e(t) имеет нулевое математическое ожидание, является стационарным и эргодическим (т.е. выполнена теорема Биркгофа-Хинчина) с непрерывными траекториями. Тогда при фиксированном Т и Аимеем

sup {çЕ_ср (q) ç, 0<q<1}0

(сходимость по вероятности), где Е_ср (q) = Y_ср (q) - X_ср (q), т.е. Е_ср (q) - среднее арифметическое погрешностей e(qT), e(qT+T), e(qT+2T),...

Доказательство теоремы 1 проводится стандартными методами теории стационарных временных рядов (с шагом Т) с использованием известного условия достаточно быстрого убывания элементов матрицы Лорана по мере удаления от ее главной диагонали (необходимого и достаточного для справедливости теоремы Биркгофа-Хинчина). С помощью теоремы 1 находим асимптотику введенных выше показателей разброса и размаха.

Теорема 2. В предположениях теоремы 1 при фиксированном Т и Апронормированные показатели разброса для наблюдаемого сигнала У сближаются по распределению с соответствующими положительными случайными величинами W_i(T; Х, w), зависящими от Т, характеристик случайного процесса e(t) и периодической составляющей Х, т.е. существуют числовые последовательности s_i(k) такие, что

s_i(k) F_i(T; Y) Þ W_i(T; Х, w), 0, i = 1,2,...,11.

Доказательство теоремы 2 проводится с помощью достаточно трудоемких (в частности, из-за числа функционалов), но стандартных рассуждений, посвященных максимумам (не супремумам, т.к. траектории функции x(t) и случайного процесса e(t) непрерывны) случайных процессов и интегралам от них, с использованием принципа инвариантности [24] и результатов [14]. Таким образом, пронормированые функционалы разброса асимптотически не зависят от числа слагаемых.

Теорема 3. В предположениях теоремы 1 при фиксированном Т и Апоказатели размаха для наблюдаемого сигнала У сближаются с соответствующими показателями для периодической составляющей Х, т.е.

G_j(T; Y) - G_j(T; Х) 0, j = 1,2,...,6.

Для доказательства используются стандартные оценки, основанные на виде конкретных функционалов, задающих показатели разброса и размаха. Аналоги теорем 2 и 3 верны также и при использовании (в качестве показателей разброса и размаха) расстояний в функциональных пространствах L^p при произвольном p>1, а для оценивания периодической составляющей - не только среднего арифметического, но и других видов средних - медианы, среднего геометрического и др.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1, периодическая составляющая непрерывна и имеет период Т₀ . Тогда при фиксированном Т и Апоказатели разброса (пронормированные) и размаха стремятся к некоторым пределам, зависящим только от Т и Т₀ :

s_i(k) F_i(T; У)F_i(T; Т₀), i = 1,2,...,11, G_j(T; У) G_j(T; Т₀) , j = 1,2,...,6,

(сходимость по вероятности), причем минимум каждой из функций F_i(T; Т₀), i = 1,2,...,11, и максимум каждой из функций G_j(T; Т₀) , j = 1,2,...,6, достигается при T = Т₀ .

Доказательство вытекает из теорем 2 и 3 и свойств усреднения периодической составляющей при росте длины интервала наблюдения сигнала, описанных в начале настоящей статьи. Отметим, что предельные значения функционала разброса F_i(T; Т₀), вообще говоря, показывают разброс случайной погрешности, не зависят от периодической составляющей, а потому из-за нормировки на единичный отрезок оказываются константами. Вместе с тем численные эксперименты показывают, что отмеченная сходимость к пределу является медленной, и минимизация непосредственно функционалов разброса при конкретной длине сигнала позволяет достаточно точно выделить периодическую составляющую.

Теорема 5. В предположениях теоремы 4 оценки, являющиеся первыми локальными минимумами при минимизации по Т отношений одного из 11 перечисленных выше показателей разброса к одному из 6 показателей размаха, являются состоятельными оценками истинного периода Т₀ , а функция y_ср (t) является состоятельной оценкой периодической составляющей х(t) на отрезке [0; Т₀].

Согласно теоремам 1-4 установлена сходимость (по вероятности) значений допредельных функционалов к предельным при каждом конкретном Т. Для доказательства сходимости минимумов допредельных функционалов к минимумам предельных воспользуемся общей теорией асимптотического поведения решения экстремальных статистических задач [23]. Условие асимптотической равномерной разбиваемости [23] выполнено, как можно показать, в силу непрерывности траекторий случайного процесса - погрешности измерения сигнала - и периодической составляющей сигнала, откуда и вытекает заключение теоремы 5, дающей теоретико-статистическое обоснование использованию системы описанных выше эвристических алгоритмов оценивания длины периода и периодической составляющей. При известной или достаточно точно оцененной длине периода сама периодическая составляющая естественным образом оценивается с помощью усреднения перенесенных к началу координат кусков сигнала, и в силу теоремы 1 эта оценка является состоятельной. Затем для получения оценки математического ожидания сигнала на всей области его определения указанную оценку можно периодически продолжить.

Замечание. При практическом использовании описанных в настоящей статье алгоритмов целесообразно учитывать дополнительные особенности реальных сигналов. В частности, обратим внимание на неустойчивость супремумов (в смысле [4]) по отношению к выбросам сравнительно с функционалами интегрального типа. Поэтому в ситуации, когда аппаратура, регистрирующая реальный сигнал, может допускать сбои в отдельные моменты времени, целесообразно в качестве показателей разброса и размаха использовать функционалы интегрального типа.