Метод моментов оценивания параметров и проверки гипотез

Термин "метод моментов" применяют как общее название приемов, основанных на использовании функций от выборочных моментов. Его применяют как для оценивания параметров, так и для проверки гипотез (например, нормальность распределения можно проверять с помощью таких функций от выборочных моментов, как выборочные асимметрия и эксцесс).

Оценки параметров методом моментов (ОММ) представляют интерес как сами по себе, так и как начальные значения при вычислении ОШО. Известно [24], что для гамма-распределения асимптотические дисперсии оценок метода моментов больше, чем для ОМП (а потому и для ОШО). Однако ОММ обладают преимуществом простоты расчета, а при учете интервальности исходных данных оказываются лучше ОМП и ОШО в широком диапазоне значений параметров (см. ниже).

Метод моментов оказался полезен для проверки согласия эмпирических данных с семейством гамма-распределений [25]. Он основан на том, что для =-параметрического семейства распределениймоментов связаны некоторым соотношением, а именно, некоторая функция от моментов равна 0. Статистика критерия согласия получается путем подстановки в эту функцию выборочных моментов вместо теоретических, а критические значения находятся исходя из асимптотической нормальности статистики критерия. Критерий метода моментов является, очевидно, несостоятельным, однако предельные распределения состоятельных критериев типа Колмогорова или типа омега-квадрат для проверки согласия с гамма-распределением нам неизвестны. По сравнению с также несостоятельным критерием хи-квадрат критерий метода моментов обладает тем преимуществом, что допускает непосредственное использование выборочных моментов и не требует предварительного нахождения оценок параметров из условия минимизации хи-квадрат (о различных ошибках при использовании критерия хи-квадрат см. [26]).

Основное используемое в [1] утверждение о функциях от выборочных моментов - их асимптотическая нормальность. При этом необходимо уметь вычислять асимптотическую дисперсию. Как правило, она, как и асимптотическое смещение, имеет порядок , где- объем выборки. Это значит, что асимптотическое смещение - бесконечно малая величина по сравнению с асимптотическим средним квадратическим отклонением, а потому при больших- им можно пренебречь.

В распространенных учебниках, как ни странно, нет технологии расчета асимптотических распределений функций от выборочных моментов, а потому и алгоритмов нахождения доверительных интервалов для параметров. Эта технология состоит из следующих двух этапов.

1. Устанавливается асимптотическая нормальность вектора, координаты которого - начальные моменты. При этом используется многомерная центральная предельная теорема (отсутствующая во многих курсах теории вероятностей) и ковариационная матрица выборочных моментов (см., например, [27, с.387]).

2. С помощью метода линеализации (приближения дважды дифференцируемой функции в окрестности точки с помощью главного линейного члена) устанавливается предельное распределение функции от асимптотически нормального вектора, введенного на этапе1.

В конкретных постановках реализация этих двух этапов может оказаться достаточно трудоемкой. Она может составить (и составляла) предмет дипломных и курсовых работ.

Во многих областях статистики применяются суммы некоторых функций от элементов независимой выборки, в частности, в регрессионном и дискриминантном анализе. В настоящее время они изучаются обычно в предположении нормальности результатов наблюдений. Однако реальные распределения обычно не являются нормальными [28]. Этот факт давно известен специалистам (сопоставьте [28] с более ранними данными в [29]), однако упорно игнорируется авторами учебников. Описанная выше технология позволяет избавиться от предположения нормальности и получить асимптотические распределения лишь в предположении существования необходимого числа моментов, как это сделано в [30] для выборочного коэффициента вариации. Отметим, что при таких иссследованиях оказываются полезными асимптотические формулы для моментов функций от выборочных моментов, имеющиеся в классических учебниках [27, 31], но отсутствующие в современных.

В [1] асимптотические формулы рекомендуется применять при конечных объемах выборок. В частности, при расчетах доверительных интервалов используются асимптотические дисперсии ОШО(ОМП) и ОММ, в которых истинные значения параметров заменены на их точечные оценки. Конечно, подобные рекомендации требуют обоснования, т.е. дальнейших исследований, которые не были проведены при разработке ГОСТ 11.011-83 из-за недостатка времени и финансирования и не проведены до сих пор из-за отсутствия стимула. Доведение общих теоретических соображений до предназначенных для практического использования обоснованных алгоритмов требует трудоемких исследований, не представляющих самостоятельного интереса для теоретиков. С другой стороны, заказчики научно-исследовательских работ часто также не понимают необходимости подобных исследований. В результате имеем массу ошибочных рекомендаций, в том числе на уровне учебников и стандартов [4-6]. Отметим, что хотя в соответствии с технологией подготовки государственных стандартов проект [1] был разослан на отзыв более чем в 100 организаций, ни одна из них не стала настаивать на проведении указанных исследований.

Не менее необходимым является изучение устойчивости (робастности) используемых в [1] оценок параметров к малым отклонениям исходных данных и предпосылок модели. Особенно это представляется актуальным в связи с использованием в оценках выборочных моментов высоких порядков. Однако популярная среди теоретиков [32, 33] модель засорения (Тьюки-Хьюбера) представляется не вполне адекватной. Эта модель нацелена на изучение влияния больших "выбросов". Поскольку любые реальные измерения лежат в некотором фиксированном диапазоне, например, зафиксированном в техническом паспорте средства измерения, то зачастую выбросы не могут быть слишком большими.. Поэтому представляются полезными иные, более общие схемы устойчивости [34], в которых, например, учитываются отклонения распределений результатов наблюдений от предположений модели.