- •Орлов а.И. Об оценивании параметров гамма-распределения
- •О развитии математических дисциплин
- •Параметризация семейства гамма-распределений
- •Области применения гамма-распределения
- •Одношаговые оценки вместо оценок максимального правдоподобия
- •Метод моментов оценивания параметров и проверки гипотез
- •Влияние интервальности исходных данных
- •Табличное и программное обеспечение в нормативно-технической документации
Параметризация семейства гамма-распределений
Простейший вид гамма-распределения - это распределение с плотностью
. (1)
где - параметр сдвига, - гамма-функция, т.е.
(2)
Каждое распределение можно "развернуть" в масштабно-сдвиговое семейство. Действительно, для случайной величины , имеющей функцию распределения, рассмотрим семейство случайных величин, где- параметр масштаба, а- параметр сдвига. Тогда функция распределенияесть.
Включая каждое распределение с плотностью вида (1) в масштабно-сдвиговое семейство, получаем принятую в [1] параметризацию семейства гамма-распределений:
Здесь - параметр формы,- параметр масштаба,- параметр сдвига, гамма-функциязадается формулой (2).
В литературе имеются и иные параметризации. Так, вместо параметра часто используют параметр. Иногда рассматривают двухпараметрическое семейство, опуская параметр сдвига, но сохраняя параметр масштаба или его аналог - параметр. Для некоторых прикладных задач (например, при изучении надежности технических устройств) это оправдано, поскольку из содержательных соображений представляется естественным принять, что плотность распределения вероятностей положительна для положительных значений аргумента и только для них. С этим предположением связана многолетняя дискуссия в 80-х годах о "назначаемых показателях надежности", на которой не будем останавливаться.
Частные случаи гамма-распределения при определенных значениях параметров имеют специальные названия. При имеем экспоненциальное распределение. При натуральномигамма-распределение - это распределение Эрланга, используемое, в частности, в теории массового обслуживания. Если случайная величинаимеет гамма-распределение с параметром формытаким, что- целое число,и, тоимеет распределение хи-квадратсстепенями свободы.
Области применения гамма-распределения
Гамма-распределение имеет широкие приложения в различных областях технических наук (в частности, в надежности и теории испытаний), в метеорологии, медицине, экономике [7-11]. В частности, гамма-распределению могут быть подчинены общий срок службы изделия, длина цепочки токопроводящих пылинок, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до k-го отказа и т.д. [7,8]. Продолжительность жизни больных хроническими заболеваниями, время достижения определенного эффекта при лечении в ряде случаев имеют гамма-распределение. Это распределение оказалось наиболее адекватным для описания спроса в ряде экономико-математических моделей управления запасами [9].
Возможность применения гамма-распределения в ряде прикладных задач иногда может быть обоснована свойством вопроизводимости: сумма независимых экспоненциально распределенных случайных величин с одним и тем же параметромимеет гамма-распределение с параметрами формы, масштабаи сдвига. Поэтому гамма-распределение часто используют в тех прикладных областях, в которых применяют экспоненциальное распределение.
Различным вопросам статистической теории, связанным с гамма-распределением, посвящены сотни публикаций (см. сводки [8,10,11]). В данной статье, не претендующей на всеохватность, рассматриваются лишь некоторые математико-статистические задачи, связанные с разработкой государственного стандарта [1].