9. Перпендикулярность прямых общего положения.

Построение перпендикуляров к плоскости, перпендикулярных прямых и перпендикулярных плоскостей является основными графическими операциями при решении метрических задач.

Прямой угол между перпендикулярными прямыми общего положения на плоскости проекций проецируется с искажениями, поэтому задачу о построении перпендикуляра к прямой общего положения решают с помощью условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим случай построения перпендикуляра из точки А к прямой общего положения m.

Эта задача решается следующей последовательностью графических операций:

1. Через точку А проводится плоскость Q, перпендикулярная прямой m.

2. Определяется точка встречи прямой m с плоскостью Q. K=mQ. Для этого проводят вспомогательную плоскость S. mS; l=SQ.

3. Соединяют точку А с точкой К. АКm, так как он лежит в плоскости, перпендикулярной прямой m.

Таким образом, две прямые перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной другой прямой.

Чтобы посмотреть, как эти построения выполнить на эпюре, рассмотрим пример:

Даны прямая общего положения m и точка А. Требуется опустить перпендикуляр из точки А на прямую m.

Рис.5

Q(hf) AQ; f2m2 h1m1 Qm; mS; l=SQ K=ml AKm.

Рис.6

10. Перпендикулярность плоскостей.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Поэтому построение плоскости Р, перпендикулярной к плоскости Q, можно осуществить двумя путями:

1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости Q, затем прямую m заключаем в плоскость Р. (mQ)(mP)PQ

2. Проводим прямую n, перпендикулярную или параллельную плоскости Q, затем строим плоскость Р, перпендикулярную к прямой n. (nQ)(nP)PQ

Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения) и в плоскости или параллельно её можно провести множество прямых n (второй путь решения), то задача имеет множество решений.

Поэтому для получения единственного решения нужно наложить дополнительные условия, например, потребовать, чтобы плоскость Р проходила через точку А, принадлежащую другой плоскости (Q).

Пример: Даны плоскость Р (ABC) и точка D. Нужно через точку D провести плоскость QР.

Рис.7

aQ, Da. Плоскость P удобно задать: [C1]h [A2]f n2f2 n1h1 (Dn) Q(na)

Рассмотрим случай когда горизонтально проецирующая плоскость S перпендикулярна к плоскости общего положения P.

Рис.8

Если (SH)(SP), то SPH, как к линии пересечения плоскостей P и H. PH=PH. Отсюда PHS и, следовательно PHSH, как к одной из прямых в плоскости S.

Однако, если одноимённые следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой, так как при этом не соблюдается условие перпендикулярности плоскостей.

IV методы преобразования ортогональных проекций

Пример: Даны фронтально-проецирующая плоскость S и точка A. Нужно найти расстояние от точки A до плоскости S.

Рис.1

Решение задачи получается более простым, если геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Перевод геометрической фигуры из общего положения в частное может быть осуществлён двумя путями:

1. Перемещением плоскостей проекций в положение, относительно которых плоские фигуры занимали бы частное положение (были бы параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций).

2. Перемещением плоской фигуры в пространстве в частное положение относительно плоскостей проекций, причём положение плоскостей проекций при этом остаётся неизменным.

Первый путь лежит в основе метода замены плоскостей проекций, а второй - в основе следующих методов:

1. Вращение вокруг линии уровня.

2. Вращение вокруг проецирующих прямых.

Методы преобразования проекций позволяют значительно упростить решение метрических и некоторых позиционных задач.