5. Решение типового задания

1. Даны три точки , , и уравнения прямых. , , , , .

1) Какая из точек принадлежит прямой ;

2) Найти точку пересечения прямых ;

3) Уравнение прямой проходит через точки и , найти координаты вектора нормали и направляющего вектора;

4) записать общее уравнение прямой проходящей через точку параллельную и точку ортогональной ;

5) Записать уравнение прямой проходящей через середину отрезка , ортогональной к нему. Найти ее угловой коэффициент:

6) Через точку пересечения прямых , провести прямую параллельную и ортогональную .

Решение:

Для того, чтобы проверить принадлежит ли указанная точка данной прямой воспользуемся понятием принадлежности элемента указанному множеству. Подставим координаты точки вместо переменных в каждое из уравнений и проверим выполнение тождества:

, ;

, следовательно

, ;

, следовательно

, ;

, следовательно

2) Для того, чтобы найти точку пересечения прямых воспользуемся свойством пересечения множеств, то есть решим систему:

Используем метод исключения переменной .

Умножив второе уравнение системы на и сложив с первым уравнением системы, найдем переменную :

, .

Умножим первое уравнение системы на и сложив со вторым уравнением системы, найдем переменную :

, .

Таким образом мы получили координаты точки пересечения заданных прямых.

3) Так как уравнение прямой проходит через точки и , значит за направляющий можно взять вектор , то есть . Для определения координат вектора нормали воспользуемся соотношением (3.11).

Проверка: вектор , следовательно их скалярное произведение равно нулю.

4) Уравнения прямых и заданы в общем виде. Рассмотрим их нормали , .

Из рис.1 видно, что вектор является нормальным к прямой проходящей параллельно через точку , следовательно ее уравнение в виде (1.1) запишем: , откуда

Рис.1. Рис.2.

Из рис 2 видно, что вектор является направляющим для прямой проходящий через точку ортогональную , следовательно, согласно формуле (1.4) ее уравнение имеет вид: .

Решим полученную пропорцию и запишем уравнение прямой в общем виде (1.2) : , .

5) Найдем точку середину отрезка . Для этого используем формулу деления отрезка пополам.

; ;

Вектор является перпендикуляром к искомой прямой (рис. 3). Применяя формулу (1.1), запишем ее уравнение:

, ,

Рис.3.

Сокращая получено равенство на получим уравнение:;

6) Точка пересечения прямых и это точка

Прямая задана каноническим уравнением (1.4) из которого мы будем использовать координаты направляющего вектора . Искомая прямая параллельна и соответственно вектору , а значит, этот вектор является направляющим для (рис. 4)

Рис.4

Тогда имеем согласно формуле (1.4):

, ;

После сокращения

, ;

или окончательно .

Найдем уравнение прямой ортогональной к . Прямая задана своим угловым коэффициентом (1.7). Так как искомая прямая , расположена ортогонально к (рис. 5), то согласно соотношения (3.10) ее угловой коэффициент равен . Тогда применяя равенство (1.8), получим

, ;

, ;

Или окончательно .

Рис.5.

2. Прямая отсекает на координатных осях и отрезки и соответственно. Найти ее направляющие вектора и угловой коэффициент.

Решение:

Искомая прямая имеет вид (рис.6) Составим ее уравнение, используя формулу (1.3): .

Приведем уравнение к общему знаменателю и запишем его в общем виде: , , .

Отсюда, используя формулу (1.2), найдем координаты вектора нормали тогда согласно формуле (3.11), направляющим вектором будет вектор с координатами (возьмем его с положительными координатами).

Для определения углового коэффициента выразим из найденного общего уравнения прямой переменную

, ;

;

Откуда .

3. Чему равно расстояние от начала координат до прямых. Вычислить расстояние между прямыми.

, .

Решение:

Для определения расстояния от нала координат до прямой необходимо записать уравнение прямой в общем виде (1.2):

, , ;

Из последнего равенства, согласно формуле (2.1)

.

Для уравнения прямой поступаем аналогично. Общий вид прямой : . Откуда:

.

Определим теперь расстояние между прямыми. Но, для начала, проверим их на параллельность:

; следовательно

; следовательно

Так как координаты векторов нормали пропорциональны, то прямые параллельны и можно определить расстояние между ними. Прямая задается своим каноническим уравнением возьмем из него координаты точки (рис 7) и по формуле (2.1) найдем расстояние от этой точки до прямой , которую мы уже записали в общем виде: . Тогда

Рис.7

4. Выяснить как расположены прямые на плоскости: параллельно, ортогонально или просто пересекаются.

, .

Решение:

Для определения расположения прямых на плоскости можно воспользоваться любым из соотношений п.3.

1) Определим их расположение через угловые коэффициенты. Запишем в виде: откуда согласно формуле (1.8) .

Из второго уравнения откуда, согласно формуле (1.7)

если , то прямые параллельны.

2) Определим их расположение через направляющие вектора:

, ;

, ;

Откуда находим ;

Вычислим скалярное произведение . Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны. Вектора ортогональны и следовательно прямые параллельны.

3) Запишем оба уравнения в общем виде

, ,

, ;

;

Координаты векторов нормали пропорциональны, следовательно прямые параллельны.