Лабораторні роботи з ТОЕ. 3 курс / 5 / Л.р.№5

Лабораторна робота №5

Перехідні процеси у лінійних колах

Мета роботи: Ознайомитися з методами аналізу перехідних процесів у нелінійних колах, набути навичок розрахунку перехідних процесів у нелінійних колах числовими методами в середовищі MathCAD.

Короткий зміст роботи: Здійснити аналіз перехідних процесів у нерозгалуженому і розгалуженому нелінійних колах, дослідити стійкість станів рівноваги у нелінійному колі.

Задача 5.1

Визначити струм у колі (рисунок 5.1), яке складається з послідовно увімкнених резистора з опором R і нелінійної котушки індуктивності з вебер-амперною характеристикою (рисунок 5.2), при вмиканні його на синусоїдну напругу .

Параметри елементів кола:

В

с^-1

Ом

Розв’язання.

Складемо диференціальне рівняння за другим законом Кірхгофа для кола після комутації

(5.1)

і запишемо його у формі Коші, враховуючи вебер-амперну характеристику котушки:

. (5.2)

Визначимо праву частину диференціального рівняння :

(5.3)

Інтегрування рівняння (5.2) виконаємо простим методом Ейлера. Присвоїмо значення змінним:

кількість точок (5.5)

крок інтегрування (5.6)

початкове значення незалежної змінної (5.7)

наступні значення незалежної змінної (5.8)

початкове значення залежної змінної (5.9)

(початкова умова)

наступні значення залежної змінної (5.10)

Струм у колі (рисунок 5.3) визначимо за рівнянням вебер-амперної характеристики

. (5.11)

Рисунок 5.3

Задача 5.2.

Визначити перехідні струми і напругу на конденсаторі у колі, наведеному на рисунку 5.4, при вмиканні його на напругу . Вебер-амперна характеристика нелінійної котушки наведена на рисунку 5.5.

Параметри елементів кола:

В

Гц

Ом

Ом

Ф

Розв’язання.

Циклічна частота джерела . (5.12)

Миттєве значення напруги на вході кола . (5.13)

Складемо систему диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа для кола після комутації:

, (5.14)

. (5.15)

(5.16)

Враховуючи, що , , а , перепишемо рівняння (5.14)-(5.15):

, (5.17)

(5.18)

Розв’яжемо рівняння (5.17) і (5.18) відносно похідних, враховуючи, що :

, (5.19)

. (5.20)

Виконаємо заміни, передбачені вбудованою функцією Rkadapt пакету MathCAD:

; . Запишемо праві частини диференціальних рівнянь (5.19)-(5.20) в матричній формі:

(5.21)

Введемо параметри метода Рунне-Кутта із змінним кроком:

кількість точок (5.22)

вектор початкових умов (5.23)

початкове значення ведучої змінної (5.24)

кінцеве значення ведучої змінної (5.25)

Обчислимо матрицю невідомих за допомогою вбудованої функції Rkadapt:

. (5.26)

Виведемо результати розрахунку:

; ; ; . (5.27)

Обчислимо струми віток кола:

; ; . (5.28)

Будуємо графіки зміни напруги на конденсаторі і потокозчеплення (рисунок 5.6) та графіки зміни струмів у вітках кола (рисунок 5.7).

Рисунок 5.6

Рисунок 5.7

Задача 5.3.

Визначити стійкість станів рівноваги у колі, наведеному на рисунку 5.8, якщо відомі параметри елементів кола, а статична вольт-амперна характеристика (ВАХ) нелінійного елемента Rn задана аналітично

. (5.29)

Чи зміниться стійкість стану рівноваги, якщо ЕРС джерела зросте удвічі, а опір резистора R- утричі ?

Параметри елементів кола:

В

Ом

Гн

Ф

Розв’язання.

Рівняння прямої навантаження:

. (5.30)

В одній системі координат будуємо пряму навантаження і статичну ВАХ нелінійного елемента (рисунок 5.9).

На рисунку 5.9. видно, що пряма навантаження перетинає статичну ВАХ нелінійного елемента у трьох точках, дві з яких – 2 і 3 – знаходяться на спадній ділянці статичної ВАХ. За таких умов необхідно дослідити стійкість станів рівноваги у точках 2,3.

Рисунок 5.9.

Положення робочих точок (точок перетину прямої навантаження і статичної ВАХ) на ВАХ нелінійного елемента визначимо як розв’язок рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа для станів рівноваги, в яких напруги і струми елементів кола є незмінними в часі ( у стані рівноваги і ):

. (5.31)

Розв’яжемо рівняння (5.31) за допомогою вбудованої функції root:

;

; (5.32)

;

Обчислимо динамічні (диференціальні) опори нелінійного елемента у точках рівноваги 1, 2 і 3 за формулою

: (5.33)

; ; ; (5.33)

У точці 2 рівновага не стійка, оскільки ;

У точці 3 рівновага стійка, оскільки .