lecture3
.pdf
смерті потрібна додаткова сума 1-Ах+1 для покриття виплати. Разова нетто-премія тимчасового страхування з терміном в один рік на цю суму є υ (1- Ах+1)qx.
Застосовуючи (3.6.4) до віку х+k, отримуємо
Ax+k −υAx+k +1 =υ(1− Ax+k +1 )qx+k , k = 0,1, 2... |
(3.6.5) |
Помноживши це рівняння на υ k і сумуючи по всіх k, отримаємо |
|
∞ |
|
Ax = ∑υk +1 (1− Ax+k +1 )qx+k . |
(3.6.6) |
k =0
Отже, разова нетто-премія у віці х є сума разових нетто-премій тимчасових страхувань на один рік.
Рівняння (3.6.4) можна переписати у вигляді
dAx+1 = ( Ax+1 − Ax ) +υ(1− Ax+1 )qx . |
(3.6.7) |
Таким чином, зароблений відсотковий прибуток має подвійний ефект: з одного боку, він підвищує разову нетто-премію (з віку х до х+1), а з іншого, він фінансує уявне тимчасове страхування на один рік.
Неперервним аналогом рекурентної формули є диференціальне рівняння. Розглянемо функцію Ax –математичне сподівання величини υ T. Для h>0 маємо
A = E(υT | T ≤ h) P(T ≤ h) + E(υT | T > h) P(T > h) = |
|
x |
|
= E(υT | T ≤ h) h qx +υh Ax+h h px . |
(3.6.8) |
Отже,
|
|
|
− |
|
= (1−υh |
|
p |
) |
|
|
− E(υT | T ≤ h) |
|
q |
. |
|
A |
A |
h |
A |
h |
(3.6.9) |
||||||||||
|
x+h |
|
x |
x |
|
x+h |
|
x |
|
||||||
Розділивши на h і спрямувавши h до 0, отримуємо
d |
|
|
|
|
|
|
|
Ax = (δ + μx )Ax − μx . |
(3.6.10) |
||||||
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Це рівняння можна звести до вигляду, подібного (3.6.7):
δ |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
Ax = |
Ax + μx (1 − Ax ). |
(3.6.11) |
||||||||
dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11