lecture6
.pdfМетод 1
Замінюючи 1+i′ на ( i′ -i)+(1+i) у (6.9.1), одержуємо
Gk +1 = ( kV +Πk )(i′−i) −Λk (1+i). |
(6.9.2) |
Таким чином, технічний прибуток складається з прибутку від інвестиції і прибутку від смертності.
Метод 2
Оскільки операцію протягом (k+1)-го року можна розкласти на заощадження і страхування, розумним підходом є відповідний розподіл технічного прибутку:
G + =G s+ +Gr+ .
k 1 k 1 k 1
тут
Gs+ = ( V +Πs )(i′−i)
k 1 k k
є прибуток від заощаджень і
|
|
r |
(1 |
′ |
|
− |
+ V ), K = k, |
Gkr+1 |
Π |
rk |
+i ) −(c + |
||||
= |
|
′ |
k 1 |
|
k 1 |
||
|
Π |
k |
(1+i ), K ≥ k +1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– прибуток від страхування. Останній можемо знову розкласти:
Gr+ = Πr (i′−i) −Λ (1+i)
k 1 k k
(6.9.3)
(6.9.4)
(6.9.5)
(6.9.6)
див. (6.7.2). Це рівняння виявляє зв'язок з методом 1.
Коли технічна відсоткова ставка i вибирається консервативно, технічний прибуток (і
відповідно величина Gks+1 ) буває звичайно додатнім. Якщо цей прибуток передається
застрахованому шляхом збільшення страхових виплат, то метод 2 є кращим, оскільки прибуток від заощаджень може бути записаний у вигляді
Gks+1 = k +1Vυ(i′−i). |
(6.9.7) |
Майбутні страхові виплати тоді можна збільшити рівномірно за допомогою множника
υ(i′−i) |
(6.9.8) |
за умови, що страхувальник згоден із збільшенням майбутніх премій у тій же пропорції. У результаті такої участі в прибутку страхувальник одержить модифікований страховий поліс, для якого
11
% |
′ |
% |
′ |
|
|
ck +1+h =υ(1+i )ck +1+h , |
+i )Πk +h |
(6.9.9) |
|||
Πk +h =υ(1 |
|||||
при h=0, 1, .... Це буде в тому випадку, коли застрахований залишиться живий
наприкінці даного року. У випадку його смерті (K=k) прибуток від заощаджень Gks+1 може бути виплачений додатково до страхової суми ck+1.
6.10 Процедура чистих доживань
Розглянемо чисте дожиття (c1=c2=…=0)... Технічний прибуток наприкінці (k+1)-го року дорівнює
|
( V +Π |
′ |
|
|
Gk +1 |
)(1+i ), K = k, |
(6.10.1) |
||
= k |
k |
|
||
|
( kV +Πk )(1+i′) −k +1 V , K ≥ k +1. |
|
||
Оскільки бажано мати прибуток від інвестицій лише у випадку виживання (K≥k+1), розкладаємо технічний прибуток:
де |
Gk +1 =GkI+1 +GkII+1 , |
|
(6.10.2) |
||
|
0, K = k |
|
|
|
|
GI |
|
|
|
|
|
+ |
= |
K ≥ k +1 |
, |
(6.10.3) |
|
k |
1 |
k +1Vυ(i′−i), |
|||
|
p |
Vυ(1 |
′ |
|
|
|
+i ), K = k |
. |
|
||
GII+ = |
x+k k +1 |
′ |
(6.10.4) |
||
k 1 |
|
|
|
||
|
−qx+k k +1Vυ(1+i ), K ≥ k +1 |
|
|||
Доведення цього розкладу випливає з (6.10.1) і того факту, що |
|
||||
( kV +Πk ) = px+k k +1Vυ |
|
(6.10.5) |
|||
див. (6.3.4). Помітимо, що математичне сподівання величини GkII+1 дорівнює 0, чого
не можна сказати про математичне сподівання величини Gkr+1 .
Якщо застрахований виживає, то прибуток, обумовлений формулою (6.10.3), можна використовувати для збільшення страхових виплат, при відповідному збільшенні майбутніх премій з множником, що визначається формулою (6.9.8).
Аналогічні висновки можна зробити і для довічних ануїтетів, прирівнявши rk (платіж, обумовлений полісом) величині Πk. Наприклад, якщо пенсійний фонд має норму інвестиційного прибутку, рівну i′, то відсотковий прибуток від ануїтетів може бути використаний для збільшення всіх платежів ануїтетів за допомогою множника, наведеного в (6.9.8).
12
6.11 Неперервна модель
Розглянемо, нарешті, неперервний аналог загального страхування життя з 6.3. Це страхування визначається тепер двома функціями – страховою сумою с(t) і ставкою премії П(t), в момент t≥0. Резерв нетто-премій у момент t є
V (t) = ∞∫c(t +h)υh |
h px+t µx+t+hdh −∞∫Π(t +h)υh h px+t dh. |
(6.11.1) |
0 |
0 |
|
Ставкупреміїможнарозкластинакомпонентузаощаджень
s |
′ |
(6.11.2) |
Π |
(t) =V (t) −δV (t) |
ікомпонентуризику:
Πr (t) = (c(t) −V (t))µx+t . (6.11.3)
З того, що П(t) єсума цих двох компонент, випливає диференціальнерівнянняТіле:
′ |
r |
(t). |
(6.11.4) |
Π(t) +δV (t) =V (t) +Π |
|||
Воноєнеперервниманалогом(6.3.9) і(6.3.10) імаєсхожуінтерпретацію. Вокремомувипадку, коли
c(t) =1 , |
Π(t) = 0 , V (t) = |
|
x+t , |
(6.11.5) |
A |
рівняння (6.11.4) приводитьдо (3.6.11). Якщо
c(t) = 0 , Π(t) = −1, V (t) = ax+t , |
(6.11.6) |
то рівняння (6.11.4) зводитьсядо (4.6.6).
Розгляд неперервної моделі спрощує справу. Існує, наприклад, тільки один метод аналізу технічного прибутку замість двох, як у дискретній моделі в6.9 і6.10. Припустимо, що застрахований живий у момент t, і що норма відсоткового прибутку в момент t дорівнює δ(t). Технічний прибутокзанескінченно малий проміжок часу від t до t + dt, що позначається через G(t, t + dt), може бути розкладений так:
G(t,t +dt) =Gs (t,t +dt) +Gr (t,t +dt), |
(6.11.7) |
де |
|
Gs (t, t +dt) = (δ(t) −δ)V (t)dt |
(6.11.8) |
єприбуток від інвестиції і |
|
13
|
r |
(t)dt −(c(t) −V (t)), t <T < t +dt |
|
Π |
|
|
|
Gr (t,t +dt) = |
|
(t)dt, T >t +dt |
(6.11.9) |
Πr |
|||
|
|
|
|
прибуток від смертності. Помітимо, що ймовірність смерті є µx+t dt , а ймовірність
виживання є 1- µx+t dt , тому математичне сподівання величини G r (t,t + dt) дорівнює нулю. Відзначимо також, що
D(Gr (t, t +dt) | T > t) = (c(t) −V (t))2 µx+t dt, |
|
(6.11.10) |
||
D(Gr (t, t + dt)) = (c(t) −V (t))2 |
t px µx+t dt |
(6.11.11) |
||
і |
|
|
|
|
D(L) = ∞∫υ2t D(Gr (t, t + dt)) = ∞∫υ2t (c(t) −V (t))2 |
t px µx+t dt |
(6.11.12) |
||
0 |
0 |
|
|
|
зааналогієюз(6.7.7) і(6.7.10)
Взявши як приклад довічний ануїтет, продемонструємо, як можна використовувати інвестиційний прибуток для неперервного збільшення страхових виплат. Припустимо, що є неперервне страхування життя зі ставкою страхової виплати r(t) у момент t. Тоді йогорезервнетто-премійумоментt є
V (t) = r(t)ax+t . |
(6.11.13) |
У момент t + dt ставка страхової виплати збільшиться до r(t + dt) = r(t) + r'(t)dt і її вартість повинна бути покрита прибутком від інвестиції. Цеприводитьдоумови
Gs (t,t +dt) =r′(t)dtax+t . |
(6.11.14) |
Використовуючи(6.11.8) і(6.11.13), одержуємодиференціальнерівняннядляr(t):
|
′ |
(6.11.15) |
(δ(t) −δ)r(t) = r (t). |
||
зрозв'язком |
|
|
r(t) = r(0) exp ∫t |
(δ(s) −δ)ds, |
(6.11.16) |
0 |
|
|
що узгоджується з результатом, отриманим наприкінці 6.10.
Ми вже бачили як прибуток від інвестиції може бути використаний для збільшення страхових виплат на індивідуально справедливій основі. З іншого боку, неможливо передати застрахованому прибуток від смертності на індивідуальній основі: смерть застрахованого означає збиток від смертності (у випадку довічного страхування) чи прибуток від смертності (у випадку ануїтету), що, природно, не можуть бути передані застрахованому.
14
Однак, можливо передати прибуток (чи збиток) від смертності групі застрахованих. Це буде продемонстровано на прикладі.
Розглянемо групу людей, що складається спочатку з п осіб; всі однакового початкового віку х і всім довічно гарантований ануїтет страхування життя з постійною величиною виплат, рівною 1. Існує згода усіх передавати будь-який прибуток (чи збиток) від смертності застрахованим, які живі, за допомогою збільшення (чи зменшення) майбутніх страхових виплат. Яка буде величина rk(t) ставки страхових виплат у момент t, якщо лише k з п осіб залишаться в живих на цей момент?
У припущенні, що k людей живі в момент t і що всі вони доживуть до моменту t+dt, прибутоквід смертності будевід’ємними; на кожного, хто вижив, він складе
Gr (t,t +dt) = Πr (t)dt = −rk (t)ax+t µx+t dt |
(6.11.17) |
див. (6.11.9). Тоді зменшення ставки виплат визначається з умови |
|
Gr (t,t +dt) = rk′(t)dtax+t , |
(6.11.18) |
яка, у свою чергу, приводить до диференціального рівняння |
|
rk′(t) = −rk (t)µx+t . |
(6.11.19) |
Якщо один з k людей помирає в момент t, то виникає негайний прибуток від смертності, рівний rk (t)ax+t ; він розподіляється між k – 1 особами, які вижили, за
допомогою збільшення ставки виплат ануїтету. Нові ставки ануїтету визначаються з умови, що резерв нетто-премій повинен залишатися незмінним:
krk (t)ax+t = (k −1)rk −1 (t)avx+t . |
(6.11.20) |
Утакийспосібможназаписати
r |
(t) = |
k |
r (t), k =2,3,...,n. |
(6.11.21) |
|
||||
k−1 |
|
k −1 k |
|
|
Явний розв’язок знаходиться з (6.11.19), (6.11.21) і початкової умови rn(0) = 1 і має вигляд
r |
(t) = n |
p |
x |
, k =1,2,...,n. |
(6.11.22) |
k |
k t |
|
|
|
Легко перевірити, що організатор такої угоди може фактично розглядатися діючим винятково як банкір, доти, доки жива принаймні одна людина з групи, що одержує в остаточному підсумку прибуток, рівний
r1 (z)ax+z = n z pxax+z , |
(6.11.23) |
де z позначає час смерті останньої людини з даної групи.
15