lecture8
.pdf
|
|
|
|
= |
cxk |
|
|
|
|
|
= |
cxk |
|
|
|
|
A |
|
|
|
x :x |
|
|
|
|
w . |
|
||||||
|
|
1 |
A |
:...:x |
|
A |
|
|||||||||
|
|
cw |
m |
cw |
(8.8.7) |
|||||||||||
|
|
|
x1:...:xk−1:xk:xk+1:...:xm |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
||||||
Тепер розглянемо страхування, при якому виплачується сума 1 у момент смерті (xk), за умови, що це r-та смерть. Його разова нетто-премія позначається через
|
|
|
|
r |
|
|
|
Ax |
|
|
|
|
|||
:...:x |
:x |
:x |
:...:x |
(8.8.8) |
|||
1 |
k−1 |
k |
k+1 |
m . |
|||
Для того, щоб виплату було зроблено в момент смерті (xk), повинні залишатися живими в точностіт-r чоловікзтихm –1 щозалишилися. Отже, маємо
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
υt |
t p |
[m−r ] t px |
μx |
+t dt. |
|
A |
r |
||||||||||
|
x1:...:xk−1:xk :xk+1:...:xm |
|
|
|
|
k |
k |
(8.8.9) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x1 :x2 :...:xk −1 :xk+1 :...:xm |
|
|
|
Виконуючи підстановку, аналогічну (8.5.3), одержимо лінійну комбінацію разових неттопремій вигляду (8.8.4), що полегшує обчислення.
Приклад. Розглянемо
|
|
w:x: y:z2 |
= ∞∫υt |
|
p |
|
|
|
|
t pz μz +t dt. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A |
t |
|
[ 2 ] |
|
|
|
|
|
|
(8.8.10) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
w:x: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скористаємося (8.5.3) з коефіцієнтами с0 = с1 = с3 = 0, с2 = 1 і знайдемо, що |
|||||||||||||||||||||||||||
|
t |
p |
|
|
= St −3St |
= |
t |
p |
w:x |
+ |
t |
p |
w:y |
+ |
t |
p |
x:y |
−3 |
t |
p |
w:x:y |
. |
(8.8.11) |
||||
|
|
[ 2] |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
w:x:y
Підставляючиостаннійвиразв(8.8.10), одержуємо
|
|
2 |
= |
|
1 |
+ |
|
1 |
+ |
|
|
1 −3 |
|
1. |
|
A |
A |
A |
A |
A |
(8.8.12) |
||||||||||
|
w:x:y:z |
|
w:x:z |
|
w:y:z |
|
x:y:z |
|
w:x:y:z |
||||||
11