Одной из задач статистики как науки явл-ся изучение, измерение динамики массовых общественных явлений. Одним из методов, которым пользуется статистика для решения этой задачи, явл-ся индексный метод.

Индекс – не всякий относительный показатель, а лишь сводный обобщающий показатель.

Индекс – относительная величина, характеризующая изменения сложного явления, состоящего из элементов, непосредственно не соизмеримых.

В завис-ти от содержания и характера общественных явлений различают индексы колич-ных показателей (объем продукции, товарооборот, числ-ть работников) – все индексируемые показатели этих индексов являются объемными и выражаются в абсолютных величинах, количества оцениваются в сопоставимых ценах и индексы качественных показателей (цены, с/ст-ть, ПТ, заработная плата) – индексируемые показатели характеризуют уровень явления в расчете на единицу совокупности, показатели называются качественными, измеряют интенсивность, эффективность явления, расчет производится на базе неизменных количеств продукции.

Индексы, исчисленные для отдельных элементов явления, наз-ся индивидуальными и обозначаются i.

Индексы, характеризующие изменения сложных общественных явлений, состоящих из многих несоизмеримых элементов, наз-ся общими (сводными, агрегатными) индексами. Обозначаются I.

Если индекс исчисляется в сложных экономических явлениях, то это средний индекс.

По каждому элементу нужно иметь 2 показателя индексируемой величины: отчетный (сравниваемый) и базисный.

Каждая индексируемая величина имеет свое обозначение:

q – объем продукции;

p – цена за единицу продукции;

z – с/ст-ть единицы продукции;

t – трудоемкость единицы продукции.

Для определения сроков (периодов времени) вводят показатели: 0 – для базисного периода, 1 – для отчетного периода.

Чтение индексов:

Индивидуальные	Общие
–объема продукции	–объема продукции
–цен	–цен
–с/ст-ти единицы продукции	–с/ст-ти единицы продукции

Агрегатная форма индексов

Основной формой среднего индекса явл-ся агрегатный индекс. Он исчисляется только для таких явлений, которые состоят из несоизмеримых элементов и в тех случаях, когда имеются абсолютные данные для числителя и знаменателя индекса.

Т.к. несоизмеримые элементы сравнивать нельзя, то необх-о привести их к соизмеримому виду. Для этого в расчет агрегатного индекса вводится еще один фактор, играющий роль соизмерителя. Этот фактор наз-ся весом индекса, его величину берут одинаковой для отчетного и базисного периода.

В исчислении агрегатного индекса принимают участие 2 фактора:

тот, изменение которого измеряется – это индексируемая величина;

фактор, играющий роль соизмерителя – это вес-индекс.

Агрегатный индекс в числителе и знаменателе имеет одинаковое число слагаемых, каждое из которых состоит из произведения индексируемой величины на вес-индекс.

В российской статистике индексы колич-го показателя исчисляются с базисными весами, а индексы качественных показателей – с отчетными.

1.Индексы выпуска продукции.

Индивид-й индекс физического объема (по отдельным изделиям):

По всем изделиям изменение физического объема продукции в денежном выражении, применяя ф-лу общего (сводного) индекса объема продукции (товарооборота) т.е. в среднем по всем изделиям: .

общий объем товарооборота в денежном выражении: руб.

2. Индексы цен.

Индивидуальные индексы цены для отдельного вида продукции:

Индивидуальный индекс покупательской способности рубля:

Общий (сводный) индекс цен в среднем по всем изделиям:

Экономия за счет снижения цен: руб.

3. Индексы с/ст-ти.

Индивидуальный индекс с/ст-ти единицы: .

–общий индекс затрат на произв-во (с/ст-ти).

Экономия затрат на произв-ва за счет снижения с/ст-ти ед-цы продукции: руб.

4. ПТ.

Индивидуальный индекс ПТ, выраженной по трудоемкости:.

Индивидуальный индекс трудоемкости единицы продукции: .

Общий индекс ПТ, выраженной по трудоемкости:

Общий индекс ПТ, выраженной по трудоемкости:

Общий индекс трудоемкости единицы продукции:

Экономия в н/ч составила:

Средние арифметические индексы применяются в тех случаях, когда есть данные для знаменателя индекса, а числитель нужно получить путем преобразований. Это средняя арифметическая из индивидуальных индексов.

Общий индекс физического объема продукции определяется по ф-ле,

индивидуальный индекс – .

Выразим q₁=i_qq₀.

Тогда – средний арифметический индекс физического объема продукции.

Т.О., прирост в денежном выражении составит: руб.

Агрегатный (общий) индекс цен:

Индивидуальный индекс цен:

Выразим p₁=i_pp₀.

Тогда средний арифметический индекс цен будет иметь вид: /

Экономия за счет снижения цен у потребителей: руб.

Средние гармонические индексы применяются тогда, когда есть данные для числителя, а знаменатель м. получить путем преобразований. Это средняя из гармоническая из индивидуальных индексов.

Индивидуальный индекс с/ст-ти .

–общий индекс затрат на произв-во (с/ст-ти).

Если , тогда– средний гармонический индекс с/ст-ти продукции.

Экономия: тыс. руб.

Индивидуальный индекс с/ст-ти .

–общий индекс цен.

Если , тогда– средний гармонический индекс цен.

Экономия: тыс. руб.

С помощью индексов можно изучать влияние отдельных факторов на какое-либо экономическое явление. Такие индексы наз-ся аналитическими. К ним относятся индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Например, себестоимость произведенной продукции – общие затраты на произв-во, определяются как z*q.

На затраты на произв-во оказывают влияние два фактора: себестоимость единицы продукции и физический выпуск продукции.

Необ-мо учитывать как общие изменения затрат на произ-во, так и пофакторное изменение.

Общее изменение затрат на произ-во учитывает индекс себест-ти переменного состава:

, ,;

;

Влияние на затраты на произв-во фактора себестоимости единицы продукции учитывает индекс постоянного состава:

, ;

;

Изменение объема произ-ва учитывает индекс структурных сдвигов:

, .

.

Изменение затрат на произв-во продукции за счет отдельных факторов рассчит-ся след-м образом.

Затраты – это z*q.

1) Изменение затрат за счет изменения объема произв-ва:

(выводится из ф-лы ).

2) Изменение затрат за счет изменения себест-ти единицы продукции:

(выводится из ф-лы ).

Общее изменение затрат на произв-во за счет двух факторов:

.

19. Группировка и ее виды.

Группировка – это процесс образования однородных групп на основе расчленения статистической совокупности на части или объединения изучаемых единиц в частные совокупности по существенным признакам.

Различают следующие виды группировок:

• типологическая группировка, т.е. разделение качественно разнородной совокупности на классы или однородные группы;

• структурная группировка, в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому-либо варьируемому признаку;

• аналитическая группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками (факторными и результативными);

• комбинированная группировка, образованная по двум или более признакам.

20. Технические приемы группировок.

1. Выбор группировочного признака – признака, по которому производится разбиение совокупности на отдельные группы. В качестве признака необходимо использовать существенные обоснованные признаки. Группировочный признак – это основание (свойство объекта) для разделения объектов на группы.

Признаки различаются:

• по форме выражения (атрибутивные и количественные);

• по характеру колебания (альтернативные «да», «нет»; множественные);

• по роли во взаимосвязи явлений (результативные – могут меняться в зависимости от ситуации и целей анализа; факторные – воздействующие на другие признаки).

2. Определение количества групп. Если в основание группировки положен атрибутивный признак, то количество групп будет столько, сколько существует градаций (уровней) данного признака. Если основание группировки – количественный признак, то при определении количества групп в каждом конкретном случае следует исходить не только из степени колеблемости признака, но и из особенностей объекта и цели исследования.

Если совокупность состоит из большого числа единиц и распределение единиц по группировочному признаку близко к нормальному, для определения количества групп (m) используют формулу Стерджесса:

m = 1+3,322·lg N,

где N – численность единиц совокупности.

3. Определение интервала группировки. Интервал – это значение варьирующего признака, лежащее в определенных границах.

Если вариация признака происходит в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами: ,

где h – величина интервала; x_max, x_min – максимальное и минимальное значения группировочного признака в совокупности; m – число групп.

Величина интервала округляется до ближайшего целого числа, или же кратного 10, 50, 100.

21. Ряды распределения: понятие и типология.

При изучении совокупности интересующий нас признак у различных единиц совокупности принимает различные значения, т.е. он имеет некоторую вариацию.

Вариацией признака называется наличие различий в численных значениях признаков у отдельных единиц совокупности.

Чтобы выявить характер распределения единиц совокупности по варьирующим признакам, определить закономерности в этом распределении, строят ряды распределения единиц совокупностей по какому-либо варьирующему признаку.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку называются вариационными.

При анализе вариационных рядов решают следующие задачи:

1) Определение меры вариации, т.е. количественное измерение степени колеблемости признака. Это позволяет сравнивать различные совокупности между собой по степени рассеяния и отслеживать уровень вариации признака одной и той же совокупности в различные периоды.

2) Исследование закономерностей вариации в статистических совокупностях для изучения причин, вызывающих вариацию.

Для описания статистических распределений обычно используются следующие виды характеристик (показателей):

1) средние величины;

2) характеристики вариации (рассеяния);

3) характеристики дифференциации и концентрации;

4) характеристики формы распределения.

22. Табличное и графическое построение рядов распределений.

Вариационный ряд по своей конструкции имеет 2 характеристики:

• значения варьирующего признака – варианты x_i, i = 1,2,…,m;

• число случаев вариантов: абсолютные – частоты n_i (f_i), относительные – частости w_i (относительные доли частот в общей сумме частот).

Тогда можно сказать, что вариационный ряд – это ранжированный (упорядоченный) в порядке возрастания или убывания ряд статистических частот (частостей).

Вариационные ряды по способу построения бывают дискретные и интервальные.

1)Дискретный вариационный ряд можно рассматривать как такое преобразование ранжированного ряда, при котором перечисляются отдельные значения признака и указывается их частота.

Если число вариантов велико или признак имеет непрерывную вариацию, то строится 2)интервальный вариационный ряд, в котором отдельные варианты объединяются в интервалы (группы). Существуют следующие виды графического отображения вариационных рядов

• полигон для отображения дискретных рядов, когда фиксируются значения;

• гистограмма для отображения интервальных рядов;

• кумулята (кумулятивный ряд) – кривая накопленных частот.

а) Дискретный вариационный ряд, б) Интервальный вариационный ряд,

(полигон) (гистограмма, полигон)

23. Эмпирическое и теоретическое распределение.

Вариационный ряд является статистическим аналогом распределения признака случайной величины x. В этом смысле полигон (гистограмма) аналогичен кривой распределения, т.е. плотности распределения вероятностей f(x), а кумулята (эмпирическая функция распределения) – функции распределения случайной величины F(х) (рис. 3.3.).

Используя эти аналогии, предполагая, что случайная величина (или статистические наблюдения) распределена по нормальному закону, можно найти соотношение между интервалом варьирования и вероятностью.

“Правило трех сигм” – если случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а и s², то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3s ; а+3s).

24. Асимметрия и эксцесс.

Асимметрия распределения означает, что частоты каких-либо двух вариантов, равноудаленных от центра распределения, не равны между собой. Графически асимметрия выражается различной длиной правой или левой ветви относительно максимальной ординаты. При асимметрии распределения значения средней арифметической, моды и медианы не совпадают.  Степень асимметрии определяется с помощью, например,

1) коэффициента асимметрии;

2) показателя асимметрии Пирсона.

Коэффициент асимметрии находится по формуле:

,      где  - центральный момент третьего порядка, т.е.. Этот коэффициент характеризует асимметричность распределения крайних значений признака.

Показатель асимметрии Пирсона  находится по формуле:

.

Показатель асимметрии Пирсона характеризует асимметричность распределения в средней части ряда.

Эксцесс  характеризует степень островершинности эмпирической кривой относительно кривой нормального распределения. 

Коэффициент эксцесса находится по формуле:

,где  - центральный момент четвертого порядка, т.е.. Если получим , то вершины эмпирического и теоретического распределения совпадают.

Если , то эмпирическая величина выше вершины соответствующего теоретического распределения, а если , то эмпирическая вершина ниже вершины соответствующего теоретического распределения.

25. Взаимосвязи общественных явлений и необходимость их статистического изучения. Функциональные зависимости и статистические связи. Общие принципы и задачи статистического изучения связи.

Исследуя явления в самых различных областях, статистика сталкивается с зависимостями как между количественными, так и между качественными показателями, признаками. При этом задача статистики – обнаружить (выявить) такие зависимости и дать их количественную характеристику.

Там, где взаимодействует множество факторов, в т.ч. и случайных, выявить зависимости, рассматривая единичный случай, невозможно. Такие связи можно обнаружить только при массовом наблюдении как статистические закономерности (на основе изучения особенностей распределения, поведения средних и др. показателей). Выявленная таким образом связь именуется статистической или стохастической.

Корреляционная связь (частный случай стохастической) – связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами.

Изучение корреляционных связей сводится в основном к решению следующих задач:

• выявление наличия (или отсутствия) корреляционной связи между изучаемыми признаками. Эта задача может быть решена на основе параллельного сопоставления (сравнения) значений х и у у n единиц совокупности; с помощью группировок; построения и анализа специальных корреляционных таблиц; а также построения диаграмм рассеяния;

• измерение тесноты связи между двумя (и более) признаками с помощью специальных коэффициентов. Эта часть исследования называется корреляционный анализ;

• определение уравнения регрессии – математической модели, в которой среднее значение результативного признака у рассматривается как функция одной или нескольких переменных – факторных признаков. Эта часть исследования называется регрессионный анализ.

Задача корреляционного анализа – измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Задача регрессионного анализа – выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

Связь признаков проявляется в их согласованной вариации, при этом одни признаки выступают как факторные, а другие – как результативные. Причинно-следственная связь факторных и результативных признаков характеризуется по степени:

• тесноты;

• направлению;

• аналитическому выражению.

26. Корреляционно-регрессионный анализ при изучении зависимостей.

Корреляционный анализ позволяет установить тесноту связи между факторами и решить следующие задачи:ответить на вопрос: существует ли связь? выявить изменение связи в различных ситуациях реальных данных; определить наиболее значимые факторы в результативном признаке.

Различают:парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком; частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков; множественную – многофакторное влияние в статической модели .

К простейшим показателям тесноты связи относятся: линейный коэффициент корреляции Пирсона; коэффициент детерминации; коэффициенты корреляции знаков – для оценки тесноты связи качественных признаков (непараметрические методы), Г. Фехнера, К. Спирмэна, М. Кэндэла.

Коэффициент Фехнера (коэффициент корреляции знаков) основан на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (х и у) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений () и (), а их знаки (“+” или “–”). Определив знаки отклонения в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений. Если совпадение знаков обозначитьС, а несовпадений – Н, то коэффициент Фехнера можно записать как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

. (7.1)

Как и любой показатель тесноты связи коэффициент Фехнера может принимать значения от –1 до +1 (). Если ΣН=0, знаки всех отклонений совпадают и К_ф = 1. Если ΣС=0, знаки всех отклонений не совпадают и К_ф = 0.

Чем ближе значение К_ф к 1(–1), тем больше (сильнее) теснота зависимости между х и у. Если К_ф положителен, то связь прямая, если отрицателен, то связь обратная.

Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто применяют метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений. Например для линейной зависимости:

.

27. Линейный однофакторный и многофакторный корреляционно-регрессионный анализ.

Для измерения тесноты связи между двумя количественными признаками х и у наиболее широко используется линейный коэффициент корреляции r. Он применим лишь в случае линейной зависимости между признаками. Если форма связи между х и у еще не определена, r рассчитывают для определения того, можно ли считать зависимость линейной.

Как и коэффициент Фехнера, линейный коэффициент корреляции строится на основе отклонений индивидуальных значений х и у от соответствующей средней величины. Но в отличие от К_ф в линейном коэффициенте корреляции учитывают не только знаки, но и значения отклонений () и (), выраженные для сопоставимости в единицах своего квадратического отклонения каждого признака, т.е. как нормированные отклоненияt:; .

Линейный коэффициент корреляции представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для х и у: .икак постоянные величины можно вынести за знак суммы и тогда формула линейного коэффициента корреляции примет вид: .

Аналитическая форма связи результативного признака от ряда факторных выражается и называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии.

Линейное уравнение множественной регрессии .

Система нормальных линейных уравнений МНК для оценки коэффициентов двухфакторной регрессии имеет вид:

Совокупный коэффициент детерминации R² характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную изменением всех факторов, входящих в уравнение множественной регрессии.

, или

При линейной форме связи расчет совокупного коэффициента детерминации можно выполнить по формуле:

.

Совокупный коэффициент множественной корреляции R представ­ляет собой квадратный корень из совокупного множественного коэффициента детерминации R². Коэффициент множественной корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: . Чем ближеR к 1, тем точнее уравнение множественной линейной регрессии отражает реальную связь. Малое значение R можно объяснить либо тем, что в уравнение множественной регрессии не включены существенно влияющие на результат факторы, либо тем, что установленная линейная форма зависимости не отражает реальной взаимосвязи признаков.

В случае зависимости результативного признака от двух факторов Множественный коэффициент корреляции R может быть вычислен по формуле:

где – парные коэффициенты корреляции между признаками.

28. Понятие ряда динамики. Элементы динамического ряда. Виды рядов динамики.