6.4. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов

Короткое замыкание rC-цепи (разрядка конденсатора). Рассмотрим переходный процесс в rC-цепи, в которой последовательно соединены резистор и конденсатор. Пусть к зажимам цепи рис. 6.6, а приложено до коммутации постоянное напряжение U = U₀ и конденсатор полностью зарядился, т. е. напряжение между его обкладками u_C стало рав- ным напряжению, приложенному к цепи (u_C = U₀). После переключения ключа К из положения а в положение b образуется накоротко замкнутый контур с r и С, в котором конденсатор будет разряжаться (при этом контур отключен от воздействия приложенного напряжения U). Следовательно, в цепи существуют только свободное напряжение на емкостном элементе (конденсаторе) и свободный ток, так как процесс после коммутации протекает только за счет энергии запасенной в электрическом поле конденсатора до начала переходного процесса. Принужденное напряжение на емкостном элемен­те и принужденный ток в цепи в этом случае равны нулю.

Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение для свободного процесса имеет вид

(6.26)

где а однородное дифференциальное уравнение для свободного напряжения на емкостном элементе можно переписать в виде

(6.27)

Характеристическое уравнение для (6.27)

имеет корень p = - 1/(rC), в результате чего свободное напряжение

где τ = rС - имеющая размерность времени постоянная времени цепи;

называется коэффициентом затухания цепи, причем τ тем больше, чем больше r и С. Таким об­разом, чем больше r и С, тем медленнее происходит раз­рядка конденсатора.

Для нахождения постоян­ной интегрирования А вос­пользуемся вторым законом коммутации u_C(0_) = u_C(0).

В цепи до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения Uо, поэтому u_C(0_) = u_C (0) = Uо и при t = 0

Итак, окончательно искомое напряжение на емкостном элементе

(6.28)

и ток в цепи

(6.29)

В формуле (6.29) знак минус свидетельствует о том, что ток разрядки имеет направление, противоположное напряжению на конденсаторе. Графики изменения u_C и i приведены на рис. 6.6,б.

Так как переходный процесс при коротком замыкании в цепи с rС теоретически заканчивается при t = ∞, то энергия, расходуемая за это время на нагрев сопротивления r

равна энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора.

Включение rC-цепи на постоянное напряжение (зарядка конденса­тора). Рассмотрим переходный процесс при включении rC-цепи на постоянное напряжение U = U₀ (рис. 6.7, а). При включении этой цепи конденсатор будет заряжаться до принужденного напряжения u_C = U₀. Однородное дифференциальное уравнение для свободного напряжения на емкостном элементе цепи совпадает с (6.27), поэтому свободное напряжение на емкостном элементе u_CВ = Ae^-t/rC. Тогда переходное напряжение на емкостном элементе

Напряжение на емкостном элементе до коммутации, а следова­тельно, и в первый момент после включения равно нулю, так как конденсатор не был заряжен, т.е. при t = 0 напряжение u_C (0) = Uо + А = 0, откуда А = - U₀ и

(6.30)

Из (6.30) следует, что напряже­ние на емкостном элементе воз­растает постепенно, причем тем медленнее, чем больше постоянная времени τ =rС (рис. 6.7, б).

Ток при зарядке конденсатора

в момент коммутации (при t = 0) возникает скачком, а затем спадает по экспоненциальному закону, как и ток разрядки. Его направление положительно (рис. 6.7,б). Ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи τ, т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение на емкостном элементе u_ССВ. Энергия, расходуемая на нагрев резистора при зарядке конденсатора независимо от сопротивления r будет такой же, как и при разрядке конденсатора т. е. равной энергии электрического поля, запасаемой в конденсаторе при его зарядке.Включение rC-цепи на синусоидальное напряжение. Рассмотрим переходный процесс при включении rC-цепи (рис. 6.7, а) на синусоидальное напряжение u = U_m sin (ωt + ψ), где ψ - фаза включения. Принужденное напряжение на емкостном элементе в этом случае

Свободное напряжение на емкостном элементе, как и при включении rC-цепи на постоянное напряжение, определяется выражением

следовательно, переходное напряжение на емкостном элементе

Постоянная интегрирования А определяется из начальных условий: если при t = 0 конденсатор не был заряжен, тоu_C = 0 и

Окончательно получаем для переходного напряжения на емкостном элементе

(6.32)

Переходный ток цепи

(6.33)

Из формул (6.32) и (6.33) следует, что на значения синусоидальных принужденных составляющих напряжения и тока цепи налагаются свободные составляющие, значения которых уменьшаются по экспонен-циальному закону, вследствие чего напряжения u_C и u_r, а также ток i в течение определенных промежутков времени могут превосходить максимальные значения. Из (6.32) и (6.33) также видно, что переходные процессы, а значит перенапряжения и сверхток, зависят от фазы вклю­чения ψ и от постоянной времени τ = гС, так как от фазы включения зависят начальные значения свободных составляющих, а от постоянной времени — скорость их уменьшения.

Если фаза включениято переходный процесс в цепи не возникает, а сразу же после включения наступает установившийся режим, так как свободные составляющие равны нулю, т. е.

Если фаза включения ψ = φ, то свободное напряжение на емкостном элементе u_ccв будет наибольшим, т. е. в начальный момент коммутации при t = 0 оно равно I_m/(ωС), а свободный ток при этом равен — I_m/(rωС). Переходные напряжения на емкостном элементе и ток при ψ = φ соответственно равны

Если сопротивление r мало (т. е. rωС ≤ 1) и мала также постоянная времени, то в начальный момент появится большой сверхток i(0) = U_Cm/r, намного превосходящий амплитуду тока I_m для установив­шегося режима (рис. 6.8, а), причем сверхток будет длиться незначитель­ную часть периода, так как ωCr = 2πτ/T ≤ 1, т. е. τ ≤ T.

При большой постоянной времени τ = rС возникает значительное перенапряжение на емкости, которое, однако, не превышает удвоенной амплитуды принужденного напряжения. В этом случае наблюдается не­большой сверхток (рис. 6.8,б). При этом чем больше сопротивление r и емкость С, тем больше постоянная времени и тем продолжительнее переходный режим.