Лекция 12

6.3. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов

Короткое замыкание rL-цепи. Рассмотрим переходный процесс в rL-цепи, в которой последовательно соединены резистивный и индуктив­ный элементы. В частности, это может быть эквивалентная схема реаль­ной индуктивной катушки, если пренебречь емкостью между ее витками (пренебречь энергией электрического поля цепи и учитывать только энергию магнитного поля). Допустим, к зажимам цепи рис. 6.2,а до коммутации было приложено постоянное напряжение U = U₀. После переключения выключателя К из положения а в положение b возни­кает накоротко замкнутый контур rL, в котором принужденный ток существовать не может, так как цепь rL отключена от воздействия напряжения сети. Итак, принужденный ток в rL-цепи после коммутации равен нулю. Следовательно, в данном случае в цепи существует только свободный ток i_CB.

Дифференциальное уравнение rL-цепи имеет вид

а однородное уравнение, определяющее свободный ток i_св этой цепи,

(6.11)

Характеристическое уравнение для (6.11)

имеет корень р = - r/L, тогда свободный ток

(6.12)

Выражение (6.12) графически представляет собой затухающую кри­вую—экспоненту (рис. 6.2,6). В (6.12) величина -1/р = L/r = τ, имеющая размерность времени (Гн/Ом = Ом-с/Ом = с), называется постоян­ной времени. Постоянная времени τ характеризует скорость протекания переходного процесса, причем чем больше τ, тем продолжительнее переходный процесс. Величина, обратная постоянной времени (α = r/L= = 1/τ), называется коэффициентом затухания; при этом чем больше коэффициент затухания, тем быстрее происходит уменьшение свобод­ного тока.

Вмомент коммутации, т. е. приt = 0, свободный ток

i_CB = Ae^-t/τ = Ae^{0 =} А. По истечении времени t = τ свободный ток i_СВ(t = τ) = Ae^-1 = A/e = A/2,718 = 0,368A, а по истечении времени 2τ свободный ток i_CB(t = 2τ) = A/е² = 0,135A и т.д. Так как за время t = 4,6τ свободный ток затухает до значения Aе^~4,6 = 0,01A, то при t > 4,6τ свободный ток составляет менее 1 % от начального значения. Поэтому в инженерных расчетах принято считать переходный процесс закончившимся при t = (4-5)τ, в то время как, согласно (6.12), он должен заканчиваться за время t = ∞.

Постоянную времени τ можно определить графически. Из (6.11) имеем

(6.13) ,

где α - угол на рис. 6.2,б. Из выражения (6.13) видно, что постоянная времени равна длине подкасательной в любой точке кривой i_св (рис. 6.2,б).

Для того чтобы проанализировать переходный процесс при корот­ком замыкании rL-цепи, необходимо из начальных условий найти постоянную интегрирования А:

при t = О

(6.14)

Если до короткого замыкания по цепи проходил постоянный ток I₀ = =U₀/r, где Uо — постоянное напряжение, приложенное к цепи (рис. 6.2, а), то это значение тока сохранится и для первого момента t = 0 после замыкания цепи. Отсюда можно определить постоянную интегрирования А = i_CB(0) = i(0) — i_np(0) = i(0) = I₀ = U₀/r, так как при­нужденный ток при коротком замыкании цепи i_np = 0. Следовательно, ток в исследуемой цепи

(6.15)

В переходный период в такой цепи возникает электродвижущая сила самоиндукции

(6.16)

откуда видно, что э. д. с. самоиндукции при коротком замыкании в данной цепи возникает скачкообразно, принимая в момент коммутации максимальное значение, т.е. при t = 0 e_L = U₀ (рис. 62,б). Так как напряжение на индуктивном элементе u_L = -e _L = -U₀e^-rt/L, а на активном сопротивлении u_r = ri = U₀e^-rt/L, то в замкнутом контуре при коротком замыкании u_r + u_L = 0.

В короткозамкнутом контуре переходный процесс заканчивается (теоретически) при t = ∞; следовательно, энергия, расходуемая за это время на нагрев сопротивления r цепи, равна энергии магнитного поля, запасенной в индуктивном элементе до момента замыкания цепи, т. е.

Аналогичное выражение описывает процессы в цепи при прохожде­нии переменного тока, но при t = 0 вместо I₀ стоит мгновенное зна­чение тока.

Если к rL-цепи приложить синусоидальное напряжение u = U_m sin (ωt + ψ), то это не окажет влияния на характер переходного процесса при коротком замыкании. Изменится только значение постоян­ной интегрирования, так как свободный ток возникает за счет энергии магнитного поля, накопленной в цепи до начала переходного процесса. В самом деле, ток до коммутации (t = 0_)

В момент короткого замыкания (t = 0)

не является функцией времени. Тогда свободный ток

(6.17)

Значение постоянной интегрирования А зависит от момента комму­тации, например если коммутация происходит в момент прохождения тока через нуль (ψ = φ), то свободный ток равен нулю и переходного режима не будет. График изменения свободного тока для переменного тока имеет тот же вид, что и зависимость на рис. 6.2,б.

Включение rL-цепи на постоянное напряжение. При включении rL-цепи на постоянное напряжение U = U₀ (рис. 6.3, а) принужденный ток i_пр = U₀/r, а свободный ток, как и в предыдущем случае, i_св, = Ae^-rt/L. Ток переходного процесса

Найдем постоянную интегрирования А из начальных условий. Ток до переходного процесса и в первый момент после включения равен нулю:

откуда А = - U₀/r. В результате искомый переходный ток

(6.18)

Напряжение на индуктивном элементе

(6.19)

а напряжение на резистивном элементе

(6.20)

Графики изменения i, i_np, i_CB, u_L, u_r, приведены на рис. 6.3,б.

До коммутации напряжение на индуктивном элементе было равно нулю, а в момент включения (t = 0) u_L= U₀ (6.19), т. е. напряжение на индуктивности изменяется скачком. Согласно (6.19) и (6.20), в первый момент включения напряжение целиком сосредоточивается только на индуктивном элементе, а затем постепенно переходит на резистивный элемент (рис. 6.3,б) и при

Из зависимости тока i(t) (рис. 6.3,б) видно, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и для этого требуется определенное время, пока не наступит принужденный режим со значением тока U₀/r. Воз­растание переходного тока i при включении будет тем медленнее, чем медленнее затухает свободный ток, т. е. чем больше постоянная вре­мени τ = L/r, а значит, чем большая энергия передается магнитному полю индуктивного элемента.

Включение rL-цепи на синусоидальное напряжение. Если rL-цепь вклю­чена на синусоидальное напряжение u = U_m sin (ωt + ψ) (рис. 6.3, a), то значение напряжения в момент коммутации u (0) = U_m sin ψ опреде­ляется значением начальной фазы ψ, которая называется в этом случае фазой включения. Принужденный ток в цепи также синусоидальный, рав­ный

асвободный ток определяется по формуле (6.12). В результате переходный ток

Из начальных условий (при t = 0 и i = 0) находим , откуда определяем

Окончательно для тока переходного процесса получаем

(6.21)

Напряжение на резисторе при переходном режиме u_r = ri пропорцио­нально току, а переходное напряжение на индуктивном элементе

На рис. 6.4 приведены зависимости u(t), i_пр(t), i_CB(t) и i(t). Из урав­нения (6.21) видно, что при t = 0 переходный ток i равен нулю, а на­чальное значение свободного тока i_СВ, равно и противоположно по направлению принужденному току i_пр. Начальное значение свободного тока зависит от начальной фазы напряжения, причем максимальное начальное значение свободного тока будет в тот момент, когда ψ - φ = π/2, так как в этот момент, согласно (6.21), i_СВ(0) = - i_пр(0) = - I_m = - U_m/Z. Если же включение гL-цепи произошло в момент прохождения принужденного тока через нуль, т. е. когда на­чальная фаза ψ = φ и sin (ψ - φ) = 0, то свободного тока не будет и в цепи сразу же наступает установившийся режим.

Из графика рис. 6.4 видно, что переходный ток в гL-цепи при ее включении нарастает от нуля и в некоторые промежутки времени может превосходить максимальное значение установившегося тока I_m, т. е. может возникнуть ток, называемый сверхтоком. Однако наиболь­шее значение переходного тока, как видно из рис. 6.4, не превышает двойной амплитуды установившегося тока.

По мере того как свободная составляющая переходного тока умень­шается, последний все больше и больше приближается к устано­вившемуся синусоидальному току.

Следует иметь в виду, что сверхтоки, возникающие при коммута­ции в электрических сетях, весьма опасны из-за повышающихся динамических усилий между токонесущими элементами и вызывают перенапряжения на участках цепи, что может привести к выходу из строя аппаратуры.

Внезапное изменение сопротивления в rL-цепи. Рассмотрим переходные процессы в цепи (рис. 6.5, a) при внезапном изменении ее активного сопротивления. Если к такой цепи подведено постоянное напряжение U = Uо и в момент t = 0 размыкается ключ К, т. е. происходит увели­чение сопротивления цепи от r₁ до r₁ + r₂, то дифференциальное уравнение цепи после увеличения сопротивления (уменьшение нагрузки) будет иметь вид

(6.22)

Решение этого уравнения:

Принужденный ток при коммутации меняется от I₁ = Uo/r (ключ замкнут) до значения I₂ = U₀/(r₁ + r₂) (ключ разомкнут), поэтому реше­ние уравнения (6.22) можно записать в виде

Из начальных условий находим постоянную интегрирования А₁.

Окончательно переходный ток при размыкании ключа

(6.23)

где τ₁ — постоянная времени цепи. Если в момент t= 0 замыкается ключ К, т. е. происходит уменьшение сопротивления цепи от значения r₁ + r₂ до r₁ (что равносильно увеличению нагрузки в цепи), то дифференциальное уравнение имеет вид

(6.24)

Решение уравнения (6.24) имеет вид

Из начальных условий находим постоянную интегрирования А2:

Окончательно переходный ток при замыкании ключа

(6.25)

где τ₂ - постоянная времени цепи.

Графики изменения токов в рассматриваемом случае представлены на рис. 6.5,б. Из них видно, что переходный процесс после увеличения сопротивления, т. е. размыкания ключа, устанавливается быстрее, чем после замыкания, так как постоянная времени цепи меньше, чем