2.4. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Законы Ома и Кирхгофа справедливы и для цепей переменного тока, но лишь для мгновенных значений.

Для узла электрической цепи переменного тока можно записать, что сумма мгновенных значений токов, направленных к узлу, равна сумме мгновенных значений токов, направленных от него, или алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю:

Для синусоидальных токов одной и той же частоты, представляя их мгновенные значения комплексными, можно записать

т. е. что алгебраическая сумма комплексов токов, сходящихся в узловой точке, равна нулю.

В любом замкнутом контуре электрической цепи переменного тока алгебра­ическая сумма мгновенных значений действующих в контуре э. д. с. равна алгеб­раической сумме мгновенных значений падений напряжения на отдельных участ­ках контура.

Следовательно, записав э. д. с., токи и сопротивления в комплекс­ной форме, для любого замкнутого контура имеем

т. е. что в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма комплек­сов э. д. с. равна алгебраической сумме комплексов падений напряжений в этом контуре.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа сначала выбирают направление обхода контура, причем комплексы э. д. с. и токов, совпадающих по направлению с направлением обхода, обычно берут со знаком плюс, а не совпадающих — со знаком минус.

2.5. Резистивный элемент в цепи синусоидального тока

Резистивный элемент характеризуется активным сопротивлением г, которое является его параметром. Этот элемент в электрических цепях отражает наличие необратимых процессов преобразования электрической энергии в другие виды энергии, например поглощение электрической энергии в проводнике и переход ее в тепловую энергию, которая рассеивается в окружающее пространство. Резистивный элемент в схемах замещения может учитывать также потери энергии в магнитном сердечнике катушки.

Активное сопротивление любого проводника больше его омического сопротивления, т. е. сопротивления этого проводника постоянному току, так как плотность переменного тока из-за поверхностного эффекта неравномерна по сечению проводника. В результате поверхностного эффекта происходит вытеснение тока к поверхности и сопротивление проводника возрастает, а следовательно, растут и потери энергии на нагрев проводника.

На рис. 2.9, а представлена схема замещения, в которой имеется резистивный элемент с активным сопротивлением г. На вход цепи подается синусоидальное напряжение

(2.22)

Мгновенное значение тока в данной цепи, согласно закону Ома,

i = и/r.

Выразив напряжение u через амплитудное значение, получим

(2.24)

или

гдеЕслито

(2.25)

Разделив левую и правую части уравнения (2.25) на, получим закон Ома для цепи с активным сопротивлением, в котором напряжение и ток выражены действующими значениями:

(2.26)

Из выражений (2.22) и (2.24) следует, что в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. ψ_u = ψ_i. Это наглядно видно из рис. 2.9, б, на котором построена векторная диаграмма для действующих тока и напряжения.

Мгновенная мощность электрической цепи с активным сопротивле­нием равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

где

Мгновенная мощность (рис. 2.9, в) остается весь период положитель­ной. Это означает, что электрическая мощность в цепи с активным сопротивлением г, поступающая на резистивный элемент из сети, полно­стью преобразуется в нем в тепло­вую энергию и, нагревая его, рас­сеивается в окружающее простран­ство. Заштрихованная на рисунке площадь равна преобразован­ной в теплоту энергии.

Среднее значение мощности представляет собой ее среднеарифме­тическое значение за период

(2.28)

где(рис. 2.9, б). Если в (2.28) напряжението

(2.29)

Выражение (2.29) показывает, что средняя мощность в электри­ческой цепи равна активной мощности Р, которая преобразуется в ак­тивном сопротивлении r в тепловую энергию.

Чтобы записать законы Ома цепи с активным сопротивлением в комплексной форме, необходимо выразить максимальные значения напряжения и тока в комплексном виде. Согласно уравнениям (2.22) и (2.24), имеем

(2.30)

гдеВ соответствии с уравнением (2.25) амплитуду напряжения можно выразить через амплитуду токаполучив в результате выражение для напряжения, записанное в комплексном виде:

(2.31) откуда

(2.32)

Из формулы (2.31) следует, что в цепи с активным сопротивлением вектор максимального напряжения совпадает по фазе с вектором мак­симального тока, что проиллюстрировано векторной диаграммой на рис. 2.10, а.

Разделив левую и правую части уравнения (2.32) наполучим закон Ома для цепи с активным сопротивлением, выраженный через комплексы действующих значений напряжения и тока:

(2.33)

Векторная диаграмма комплексов действующих значений напряжения и тока показана на рис. 2.10, б.

Таким образом, согласно закону Ома в комплексной форме, для цепи с активным сопротивлением комплекс тока равен комплексу напряжения, делен­ному на сопротивление r.