2.8. Последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепи синусоидального тока

Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение для мгновенных зна­чений напряжения в цепи рис. 2.13, а имеет вид

(2.51)

Так как в данном случае общим для всех участков является ток, то целесообразно, чтобы начальная фаза тока была равна нулю, т. е.Тогда, выразив в (2.51) напряжения через ток и сопротивления участков цепи, получим

(2.52)

Известно, что напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе с током цепи, на индуктивном элементе напряжение опере­жает ток на угол π/2, а напряжение на емкости отстает от тока на угол π/2. Еслито итак какаИначе говоря, если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, то напря­жение опережает ток на угол(рис. 2.13, 6) и мгновенное значение напряжения цепи можно описать выражением

Еслито иИначе говоря, если в цепи преобладает емкостное сопротивление, то напряжение отстает от тока на угол φ (рис. 2.13, в) и выражение для мгновенного значения напряжения в цепи имеет видТреугольники Оаb и Оbс на векторных диаграммах напряжений (рис. 2.13, б, в) называют треугольниками напря­жений.

В общем виде выражение для мгновенного значения напряжения в цепи можно записать так:С учетом этой записи уравнение (2.52) принимает вид

Полагая в этом уравнении получаем

Возведя первое и второе равенства в квадрат, а затем, сложив их, имеем откуда находим

(2.53)

Разделив левую и правую части равенства (2.53) нанайдем связь между током и напряжением, т. е.закон Ома для цепи с последова­тельно соединенными r, L, С:

(2.54)

где— полное сопротивление цепи сr, L, С; X = X_L - Хс = ωL — 1/(ωС) - реактивное сопротивление цепи, учитывающее реакцию самоиндукции и емкости. Если каждую из сторон треугольника напряжений разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений. Стороны треугольника сопро­тивлений представляют собой отрезки, а не векторы, так как сопро­тивления — постоянные величины. Треугольник сопротивлений позволяет без расчета и построения векторной диаграммы определять cosφ. На рис. 2.13, г изображен треугольник сопротивлений, когда в цепи

а на рис. 2.13, е – когда

Умножая стороны треугольников напряжений (рис. 2.13, б, в) на ток, получим треугольники мощностей. На рис. 2.13, д изображен треугольник мощностей, когда в цепи а на рис. 2.13, ж — когдаИз треугольника мощностей имеемP = U_rI = UIcosφ = I²r - активная мощность цепи, Вт; Q = Q_L-Q_C = U_LI-U_CI = I²(X_L-X_C) = I²X= UIsinφ — реактивная мощность цепи, вар; S = UI = I²Z = — полная мощность цепи, В • А; cosφ = r/Z = P/S - коэффициент мощности цепи; - угол сдвига фаз между током и напряжением цепи. Угол φ положителен, когда реактивное сопротивление X имеет индуктивный характер, т. е. когдаУгол φ отрицателен, когда реактивное сопротивление X имеет емкостный характер, т. е. когда X_C>X_L.

Следует отметить, что реактивная и полная мощности имеют ту же размерность, что и активная. Но с целью удобства для реактивной и полной мощностей выбраны свои единицы: вольт-ампер реактивный (вар) и вольт-ампер (ВА) соответственно. Часто в энергетике приме­няются производные единицы: киловольт-ампер реактивный (квар), киловольт-ампер (кВ • А).

Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение напряжений в ком­плексной форме для цепи с r, L, С имеет вид

(2.55)

Заменив в (2.55) напряжение резистивного, индуктивного и емкостного участков цепи произведениями их сопротивлений на комплекс тока, получим откудазакон Ома в комплексной форме для цепи с r, L, С запишется так:

(2.56)

где — комплекс полного сопротивления. При анализе цепей переменного тока комплексным методом весьма удобно пользоваться выражением мощности в комплексной форме. Комплекс полной мощности получают путем умножения комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока:

или (2.57)

где— комплекс тока;- сопряженный комплекс тока (); Q_L= X_LI² — реактивная индуктивная мощность; - реактивная емкостная мощность.

Из уравнения (2.57) видно, что вещественная часть комплекса полной мощности равна активной мощности, а мнимая — реактивным составля­ющим мощности. Знак(тильда) над мощностьюS означает, что речь идет о комплексе полной мощности, а не о сопряженном комплексе мощности, хотя и составленном при участии сопряженного комплекса тока