Белов+В.Н.Определенный+интеграл

α = 0 до β = π/2, а S2 — площадь прямоугольного треугольника

прямой x+2y −8 = 0 в полярных координатах ρ2(ϕ) = 8/(cos ϕ+

2.4. Вычисление объема тела по площадям его поперечных сечений

Если известна площадь S(x) любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной некоторой прямой (которую принимают за ось OX), в точке с абсциссой x, то объем этого тела можно вычислить по формуле

Zb

a

где a и b — абсциссы крайних сечений тела (рис. 14). Для существования интеграла (6) достаточно, например, непрерывности функции S(x).

20

2.5. Вычисление объемов тел вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной кривой y = y(x) = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b (a < b), вращается вокруг оси OX (или вокруг оси OY ) (рис. 15), то объемы полученных таким образом тел рассчитывают

21

Рис. 15

Замечание. Величина πy2(x) есть площадь S(x) поперечного кругового сечения (см. формулу (6)).

Если же криволинейная фигура, ограниченная двумя прямыми x = a, x = b (a < b) и двумя непрерывными кривыми y = f1(x)

и y = f2(x), причем 0 6 f1(x) 6 f2(x) при x [a, b] (рис. 16) вращается вокруг оси OX (или вокруг оси OY ), то

a

Заметим, что VOX = V2X − V1X , где ViX — объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси OX криволинейной

22

фигуры, ограниченной кривой y = fi(x), прямыми x = a, x = b (a < b) и осью OX (сравните с формулой (7)). Аналогичные рассуждения касаются и VOY (см. формулу (8)).

Объем VOY тела, полученного вращением вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной осью OY двумя прямыми y = c, y = d и кривой, задаваемой уравнением вида x = g(y) (рис. 17), может быть вычислен по формуле

Zd

VOY = π g2(y)dy. (11)

с

В более общем случае вращения вокруг оси OY криволинейной трапеции с двумя криволинейными границами, задаваемыми

уравнениями вида x = g1(y), x = g2(y) (0 6 g1(y) 6 g2(y)) (рис. 18), объем полученного тела вращения рассчитывают по фор-

муле

с

Пример 15. Вычислить объем VOX тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = f1(x) =

= x2 и y = f2(x) = 2 − x (рис. 19).

J Заданные линии пересекаются в точках A(−2; 4) и B(1; 1). Объем тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры AOB, может быть представлен как разность объемов тел, полученных вращением вокруг оси трапеции MABN и криволинейной трапеции MAOBN (см. формулу (9) и комментарий к ней):

23

Рис. 18 Рис. 19

Пример 16. Вычислить объем V тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями f1(x) = x2 + 1, f2(x) = x, x = 0, x = 1 (рис. 20).

Рис. 20

J В данном случае целесообразнее воспользоваться формулой (10).

24

Поскольку выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то знак модуля можно опустить. Область изменения переменной x определяет пределы интегрирования — x = 0 и x = 1:

Пример 18. Вычислить объем VOY тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y2 − 4y + + x = 0 и x = 0 (рис. 22).

25

ком модуля в формуле (10) для рассматриваемого случая нео-

Пример 19. Вычислить объем VOY тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y = arccos x и y = arccos (x/3) (рис. 23).

J Интегрирование выполняем по переменной y, для этого находим другие задания кривых x = g1(y) = cos y, x = g2(y) = 3 cos y.

Рис. 23

2.6. Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая задана на отрезке [a, b] уравнением y = f(x), где f(x) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция,

Формулу (13) можно получить из (14), если в качестве параметра t взять x.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(ϕ), где ϕ [α, β], ρ (ϕ) — непрерывно дифференцируемая

27

на отрезке [α, β] функция, то длину дуги кривой вычисляют по

формуле

Zβ q

l = ρ2(ϕ) + (ρ0(ϕ))2dϕ. (15)

α

Замечание. В формулах (13) — (15) выражения, стоящие под знаком интегралов, представляют собой дифференциалы длины дуги dl при соответствующих заданиях кривых.

Пример 20. Найти периметр P фигуры, ограниченной кривы-

√

ми y3 = x2 и y = 2 − x2 (рис. 24).

Рис. 24

J Первая из кривых — полукубическая парабола, вторая — полуокружность x2 + y2 = 2 (y > 0). Найдем точки пересечения заданных кривых M и N с помощью уравнения y3 = 2 − y2. Отсюда M(−1; 1), N(1; 1). Поскольку обе кривые симметричны относительно оси OY , lMR = lRN , lOM = lON , а следовательно, P = 2(lON + lRN ). Вычислим длину дуги lRN :

Вычислим вторым способом длину дуги lON , приняв y за незави-

+ √2π/4 . I

Пример 21. Найти длину дуги lAB цепной линии, заданной

x x

уравнением y = 2(e 4 + e− 4 ) от точки с абсциссой x = 0 до точки с абсциссой x = 4 (рис. 25).

Рис. 25