Белов+В.Н.Определенный+интеграл
.pdf
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
Методические указания
В.Н. Белов, А.В. Косова, В.Ю. Чуев
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
В.Н. Белов, А.В. Косова, В.Ю. Чуев
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Методические указания к выполнению типового расчета
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2009
УДК 517.3 ББК 22.161.1
Б435
Р е ц е н з е н т
Е.А. Власова
Б435 Белов В.Н., Косова А.В., Чуев В.Ю.
Oпределенный интеграл: Метод. указания к выполнению типового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. –
48с.
Вметодических указаниях изложены основные понятия, свойства
испособы вычисления определенного интеграла, указания к их применению, а также примеры использования формул; даны условия вариантов типового расчета.
Для студентов 1-го курса технических вузов.
УДК 531.3 ББК 22.161.1
Учебное издание
Белов Владимир Николаевич Косова Анна Владимировна Чуев Василий Юрьевич
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Редактор А.К. Яковлева Корректор Г.С. Беляева
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 04.02.2009. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,79. Тираж 3000 экз. Изд. № 33.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5
c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009
1.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1.Основные понятия
Понятие об определенном интеграле проиллюстрируем на примере вычисления площади S криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), вертикальными прямыми x = a, x = b и осью OX (рис. 1). Разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точ-
ками xi такими, что a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. В каждом из полученных отрезков разбиения [xi−1, xi] возьмем
произвольную точку ξ[xi−1, xi] и обозначим xi = xi − xi−1,
λ = max xi, i = 1, 2, . . . , n.
i
|
Рис. 1 |
|
Составим сумму σn = f(ξ1) x1+f(ξ2) x2+. . .+f(ξn) xn = |
|
n |
= |
X f(ξi) xi, которую назовем интегральной суммой для |
i=1
функции f(x) на отрезке [a, b], соответствующей данному разбиению отрезка [a, b] и данному выбору промежуточных точек ξi.
3
Геометрический смысл интегральной суммы σn при f(x) ≥
≥ 0 очевиден — это сумма площадей прямоугольников с основани-
ями x1, x2, . . . , xn и высотами f(ξ1), f(ξ2), . . . , f(ξn). Сумму σn можно принять за приближенное значение площади S криво-
линейной трапеции, т. е. σn ≈ S.
Очевидно, что чем мельче разбиение отрезка [a, b], a ≤ b, тем
точнее будет вычислена искомая площадь S, т. е. S = lim σn.
λ→0
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b]
называют предел интегральных сумм σn при стремлении длины максимального отрезка разбиения λ к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит как от выбора разбиения отрезка [a, b], так и от выбора точек ξi на отрезках разбиения, т. е.
|
b |
n |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
f(x)dx = |
lim |
f( |
ξi |
) x |
i = |
lim |
σn |
. При этом число a |
|
max xi→0 i=1 |
|
|
λ→0 |
|
является нижним пределом интегрирования, число b — верхним пределом интегрирования,отрезок [a, b] — отрезком интегрирования, a 6 b, x — переменной интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией. Еще раз отметим, что определенный интеграл — это
число!
Zb
Если f(x)dx существует и конечен, то функцию f(x) назы-
a
вают интегрируемой на отрезке [a, b].
Функция кусочно-непрерывна на отрезке [a, b], если она имеет на нем только конечное число точек разрыва и притом только первого рода.
Теорема существования определенного интеграла: любая кусочно-непрерывная функция на отрезке [a, b] является интегрируемой на этом отрезке.
В частности, любая непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) также является интегрируемой на этом отрезке.
Zb
Геометрический смысл определенного интеграла f(x)dx
a
при f(x) ≥ 0 очевиден: этот интеграл численно равен площа-
4
Рис. 2
ди криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y = f(x), вертикальными прямыми x = a, x = b и осью OX (рис. 2).
Отметим также некоторые физические приложения определенного интеграла:
1) путь, пройденный телом при прямолинейном движении с переменной скоростью v(t) от момента времени t1 до момента вре-
Zt2
мени t2, равен S = v(t)dt (переменной интегрирования является
t1
время t);
2) работа переменной силы F (x) по перемещению материальной точки из точки x1 в точку x2, если направление силы, а также
направление перемещения совпадают с положительным направле-
Zx2
нием оси OX, равна A = F (x)dx (переменной интегрирования
x1
является координата материальной точки x).
1.2. Основные свойства определенного интеграла
Za Zb Za
1. f(x)dx = − f(x)dx, f(x)dx = 0;
b a a
Справедливо, если все входящие в них определенные интегралы существуют и конечны.
5
2. Zab cf(x)dx = c Zab f(x)dx, |
Zab cdx = c(b − a); |
|
|
3. |
Zab [f(x) + g(x)]dx = Zab f(x)dx + Zab g(x)dx; |
|
|
4. |
Zab [c1f1(x) + c2f2(x) + . . . + cnfn(x)]dx = c1 |
Zab f1(x)dx + |
|
Zb Zb
+ c2 f2(x)dx + . . . + cn fn(x)dx, c1, с2, . . . , cn R.
a a
Свойства 2 и 3 называют свойствами линейности. В общем случае линейность определенного интеграла описывает выражение 4.
5. Аддитивность определенного интеграла:
Zab f(x)dx = Zac f(x)dx + Zc b f(x)dx при любом расположении |
|||||||||||||||||||||||
точек a, b, c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Если a < b, а f(x) ≥ 0 при всех x [a, b], то Zab f(x)dx ≥ 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
7. Если a < b, а f |
|
x |
|
|
g |
x |
|
при всех x |
|
|
|
a, b |
, то |
f |
|
x |
|
x |
|
||||
Zb |
( |
|
) |
6 |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
Za |
|
( |
|
)d |
|
6 |
|
6 g(x)dx. |
|
|
f(x)dx 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a8. Если a < b, то |
b |
Z |
b |
|
f(x) |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Теорема об оценке |
определенного |
интеграла: eсли функ- |
|||||||||||||||||||||
ция f(x) интегрируема |
на отрезке |
[a, b], a < b и m 6 f(x) 6 M, |
|||||||||||||||||||||
Zb
то m(b − a) 6 f(x)dx 6 M(b − a).
a
6
10. Теорема о среднем значении определенного интеграла:
пусть функции f(x) и ϕ(x) непрерывны на отрезке [a, b], причем функция ϕ(x) не меняет знак на этом отрезке, тогда существует
Zb Zb
точка c [a, b] такая, что f(x)ϕ(x)dx = f(c) ϕ(x)dx.
a a
11. Следствие теоремы о среднем: eсли функция f(x) является непрерывной на отрезке [a, b], то существует точка c [a, b]
Zb
такая, что f(x)dx = f(c)(b − a).
a
12. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна значению по-
дынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.
Zx 0
f(t)dt = f(x).
ax
1.3.Вычисление определенного интеграла
1.3.1.Формула Ньютона — Лейбница
|
Если функция |
|
|
F (x) является первообразной для |
функции |
|||||
f(x) на отрезке [a, b], т. е. F 0(x) = f(x) для всех x |
|
(a, b), то |
||||||||
a |
b |
|
b |
|
|
|
|
|
||
Z |
f(x)dx = F (x) |
|
= F (b) − F (a). |
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1. J Z |
|
sin xdx = − cos x |
|
0 |
= −(−1 − 1) = 2. I |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.2. Интегрирование по частям
Если функции u(x) и v(x) имеют на отрезке [a, b] непрерывные
|
a |
b |
|
|
b |
a |
b |
производные, то |
Z |
|
udv = (uv) |
|
− Z |
vdu или в другой записи |
|
|
a |
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb
a
=
−
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x)v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− Z v(x)u0(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(x)dx = [u(x)v(x)] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пример 2. J Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
arctg xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
u(x) = arctg x; |
du(x) = |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
(x arctg x) |
|||||||||||||||||||||
|
x2 + 1 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dv(x) = dx; |
|
|
|
v(x) = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||
|
xdx |
|
π |
1 |
|
|
|
d(x + 1) π |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
ln x |
|
+ 1 0 |
= |
|||||||||||
|
x2 + 1 |
4 |
2 |
x2 + 1 |
4 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0π |
|
1 |
0 |
||
= |
|
− |
|
ln 2. I |
|
4 |
2 |
|
|||
1.3.3. Теорема о замене переменной в определенном интеграле
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда при следующих условиях:
1)функция x = ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α, β] и ϕ0(t) 6= 0 при всех t [α, β];
2)ϕ(α) = a, ϕ(β) = b;
3)ϕ(t) [a, b] при t [α, β]
справедливо равенство:
Zb |
Zβ |
|
f(x)dx = |
f[ϕ(t)]ϕ0(t) dt. |
(1) |
aα
Впервом условии требование ϕ0(t) 6= 0 на отрезке [α, β] обеспечивает, в частности, строгую монотонность функции ϕ(t), поскольку на всем отрезке [α, β] либо ϕ0(t) > 0, либо ϕ0(t) < 0. Отметим, что при использовании замены переменной в определенном интеграле меняются пределы интегрирования и возврат к
исходной переменной не нужен.
√
Z 3
Пример 3. Вычислить p dx . J Сделаем замену пе-
(x2 + 1)3
1
ременной x = tg t для эффективного использования формулы (1).
8
При изменении аргумента x от 1 до √3 переменная t меняется от π/4 до π/3, т. е. t [π/4; π/3]. Так как cos t > 0 при t [π/4; π/3],
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. Поскольку |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то |
|
x |
|
|
+ 1 = |
|
|
tg |
|
t + 1 = |
√ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
cos t |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
cos√ |
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dx = |
|
|
|
dt |
, то в итоге получим: Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x2 + 1)3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = √ |
|
|
|
|
π/3 |
|
π/3 |
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
π/3 |
|
|
|
π/3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x = 1 |
|
t = π/4 |
= |
Z |
cos3 t |
cos2 t |
= |
|
Z |
cos tdt sin t |
|
π/4 |
= |
|||||||||||||||||||||||
= ( |
√ |
|
|
√ |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
2)/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
2π/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π/3 |
|
|
|
|||||||||
|
Пример 4. |
Вычислить |
Z |
|
dx. J Очевидно, что |
Z dx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2π/3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
= x |
|
|
π |
|
= |
2π |
. С другой стороны, |
Z |
|
dx = |
||||||||||
|
0 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
2π/3 |
|
|
|
|
|
|
2π/3 |
|
|
|
|
||||||||
= |
Z0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
Z0 |
|
|
d(tg x) |
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
cos2 x(tg2 x + 1) |
|
tg2 x + 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
= |
|
t = tg x, x = 0 |
t = 0 |
|
= |
Z |
|
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2π/3 t = |
√3 |
|
|
|
|
t2 + 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0
2Zπ/3
dx
sin2 x + cos2 x =
0
−√ |
|
|
π |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
= arctg t 0 |
= − |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
0
Однако этот результат неверен потому, что функция tg x имеет в точке x = π/2 разрыв второго рода и, следовательно, замена переменной вида t = tg x не удовлетворяет условиям рассматриваемой теоремы. I
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2.1. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе координат
Ранее было показано, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке
9